図形と方程式

質問

2点A(2, 0)、B(-1, 1)を結ぶ線分と直線 mx-y-1=0 ・・・(1)　とが交わるように、定数mの値の範囲を定めよ。
ここで、線分ABはその両端を含まないとする。

僕の考えは、

線分ABを通る直線は y=-(1/3)x+(2/3) ・・・(2)　※紛らわしさをなくすために（）を用いています。
(1)と(2)が接するということから連立。

f(x,y)=(m-1)x-4y+1=0

f(2,0)の時、m=(1/2)
f(-1,1)の時、m=-2

以上から -2<m<(1/2) と導いたのですが、解答では m<-2, m>(1/2)となっています。
解説では、2点A,Bは直線(1)に対して反対側にあるということで数IIに出てくる領域を使って導いており、やり方が違うので、僕のやり方のどこが悪いのかわかりません。

教えてください。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

質問文中の略解には、どこが悪いのか以前に、
貴方のやり方が書いてありません。

悪い箇所は、
.　　f(2,0)の時、m=(1/2)
.　　f(-1,1)の時、m=-2
と
.　　以上から -2<m<(1/2)
の行間の
全く書かれていない部分にあります。

貴方は、m=(1/2) の場合と m=-2 の場合が
境界になることを正しく見つけたのですが、その後、
それ以外に境界がないかどうかも、
境界のどっち側が解になるのかも考察せず、
根拠なく -2<m<(1/2) を「導いた」わけです。

そこの行間で、一度、座標平面の絵を書いて
A, B, (1) を書き込み、
m が変わると (1) がどのように動くか
考えてみたら良かったのだと思います。

お礼

>根拠なく -2<m<(1/2) を「導いた」わけです。

ABの間だから、mも間だろうと思っていたのですが、少し甘かったようです。

回答No.3

ereserve67

(1)は

y=mx-1

とかけるので，C(0,-1)を通り傾きmの直線です．

・(1)がA(2,0)を通る時m=1/2です．

・m<1/2としてmを減じていくと(1)は線分ABの右下方向へ離れていきます．やがて(1)は水平になり傾きが負になりますが，線分ABの下方にあります．

・m=-2のとき(1)はB(-1,1)を通ります．

このことから1/2>m>-2のとき(1)は線分ABと共有点をもちません．そして，m<-2,1/2<mのとき(1)と線分ABは交わります．

この状況は，手書きまたはグラフ描画ソフトで確認するとよくわかります．(図)

※線分ABをベクトルで表してみる方法があります．線分ABの両端を除く部分にある点Pは

AP=tAB(0<t<1)

OP=(1-t)OA+tOB=(1-t)(2,0)+t(-1,1)=(2-3t,t)

この点が(1)上にあるとして

t=m(2-3t)-1

(1+3m)t=2m-1

t=(2m-1)/(3m+1)(m≠-1/3)

0<t<1より

0<(2m-1)/(3m+1)<1

(3m+1)^2>0をかけて

0<(2m-1)(3m+1)<(3m+1)^2

左の不等式から

（☆）m<-1/3,1/2<m

右の不等式：6m^2-m-1<9m^2+6m+1,3m^2+7m+2>0,(m+2)(3m+1)>0

（★）m<-2,-1/3<m

☆と★の共通部分をとると

m<-2,1/2<m

となります．

お礼

ベクトルはまだ習っていないのですが、習う時、参考にします

回答No.2

mister_moonlight

君の考え方は　支離滅裂。

直線：ABの方程式は　3y＝2-x　‥‥(1)　これと mx-y-1=0 ‥‥(2)との交点が　-1＜x＜2にあると良い。
実際に交点をもとめその交点のx座標が　-1＜x＜2にあればよい。

これは　正領域・負領域の練習問題。
上のように解くのもいいが“正領域・負領域”は大事な知識。
その方法は覚えておかなければならない。

お礼

支離滅裂なのは全体ではなく、mの範囲のところでしょうか？

回答No.1

yyssaa

f(2,0)の時、m=(1/2)
f(-1,1)の時、m=-2
ここから何故-2<m<(1/2)が導ける？
mは(1)の傾斜だからm<(1/2)だったら交わらないのは明白。

お礼

>ここから何故-2<m<(1/2)が導ける？
ABの間だからmも間だろうと・・・