ちょっと式変形で疑問が

質問

非常に簡単な問題なのですが、
中心力U(r)についての問題を考えたとき、
x方向の力について考えます。
すると、Fx=-∂U/∂xの式が成り立つので、
それを=-(dU/dr)(∂r/∂x)と式変形できます。
この∂r/∂xはr=(x^2+y^2)^1/2を使うと、∂r/∂x=x/r=cosθとなりますが、
直接r=x/cosθから、∂r/∂xを求めると、∂r/∂x=1/cosθになっておかしいですよね。
これは、なぜでしょうか？
つまらない質問ですが、よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞直接r=x/cosθから、∂r/∂xを求めると、∂r/∂x=1/cosθになっておかしいですよね。

　偏微分を求めるときに、自分の座標系（ここではθのこと）が入っていてはいけません。（微分操作の後に自分の座標系を使うことは構いませんが。）
　したがって、∂r/∂xは次のようにして求めます。
　　ｒ＝√(x^2+y^2)
　∴∂r/∂x＝x/√(x^2+y^2)＝cosθ

　ちなみに、平面座標での変換では次のようになっています。
　　∂x/∂r＝cosθ、　∂x/∂θ＝-r・sinθ (＝-y)
　　∂y/∂r＝sinθ、　∂y/∂θ＝ r・cosθ (＝ x)

　　∂r/∂x＝x/√(x^2+y^2)　(＝cosθ)、　　　　∂r/∂y＝y/√(x^2+y^2)　（＝sinθ)
　　∂θ/∂x＝-y/√(x^2+y^2)　(＝-sinθ/r)、　∂θ/∂y＝x/√(x^2+y^2)　(＝cosθ/r)

　このことから、∂x/∂rと∂r/∂xを掛けたものは１になりませんが、それは構いません。
　その理由は、次の式変形を見ていただければ分かると思います。
　　dx/dx＝(∂x/∂r)(∂r/∂x)+(∂x/∂θ)(∂θ/∂x)
　⇔　１　＝(cosθ)^2+(-r・sinθ)(-sinθ/r)
　⇔　１　＝(cosθ)^2+(sinθ)^2

　つまり、(∂x/∂r)(∂r/∂x)≠１　なのです。

　この点を誤解されたのではないでしょうか。

回答No.3

YHU00444

まさしくANo.1のご回答にあるとおりで、θはtanθ=y/xとxに従属していますから、その分を含めて計算しないといけない。
で、その部分を含めた正しい式は、∂r/∂x=1/cosθ+x*∂θ/∂x*d/dθ(1/cosθ)で、これをきちんと調べれば、確かに∂r/∂x=cosθとなることもお分かり頂けるものと思います。

回答No.1

ksugahar

xとθは独立な変数じゃないと思います。