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よく証明が分からないので
0 < x < 1 となる実数 x の集合を順番に書き出す(外延的記法で書く)ことはできないという証明で 「背理法で示す。実数x ( 0 < x < 1 ) が並べられたと仮定すると，集合の全要素は以下の表で表せる。 (表) a1 = 0. a11 a12 a13 a14 … a2 = 0. a21 a22 a23 a24 … a3 = 0. a31 a22 a33 a34 … a4 = 0. a41 a42 a43 a44 … ： an = 0. an1 an2 an3 an4 … ann … ここで，a11,a22,a33・・・・ ann のように表の対角線に着目し，以下の要領で数b ( 0 < b < 1 ) をつくる。 b = 0. b1 b2 b3 b4 … ただし bn = 1 ( ann が偶数であるとき) bn = 2 ( ann が偶数であるとき) このとき，この b は上の表中には存在せず，矛盾する。」 まず、このbは上の表の中に存在しないというのが分かりません。 任意に、a1,a2,・・・・anをどんな形でもいいのである方法で定めれば bが存在することもあり得るので。
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では仮にbが表中のn番目に存在したとしましょう。 つまりan=bだったと仮定して、an(=b)のn桁目に着目すると、 annが偶数のとき → bnは奇数 annが奇数のとき → bnは偶数 よってn桁目の奇偶が一致しないので、an≠bということになる。 どんなnを取ってきても同じ理由でan≠bとなるから表中にbは存在しようがない。
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- arrysthmia
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a1, a2, …, an, … を任意の順で並べる ということが、掴めないのですね。 an を並べる際には、任意に並べてよいのですが、 その一覧の中から b を探す時点では、 もう an は並べ終っているので、 後から勝手に変更はできないのです。
- fukuda-h
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これは有名な「カントールの対角線論法」ですね。カントールという天才が1891年に論文の中で初めて用いた証明方法でです。しかし、おかしいですね。疑問を持つのはもっともなことです。 ＞この b は上の表中には存在せず とありますが、b = 0. b1 b2 b3 b4 …を作る操作は無限に続きいつまでたっても終わらないはずです。この操作が終わった時に初めて表と比較できてｂはこの中にないとわかるはずですね。したがっていつまでたっても比較できない証明として有名でもあります。
