運動についてです

質問

摩擦のない平面に質量mがあり、その上に質量Mの物体が速度Vで滑っています。mとMとの間には摩擦があるとしてMとmが一体となり動き出す速度を求めなさいとのことなんですが、教えていただきたいです。

解き方・もしくはヒントだけでもいいので教えてください。

回答No.5

htms42

衝突の問題だと言ったところがわかりにくかったというコメントを頂ました。
コツンとぶつかるような衝突のイメージがないからのようです。
衝突の問題を解くときには運動量の保存則を使います。
ところが運動量保存則はコツンとぶつかって速度が変わる様な現象よりももっと広い範囲で成り立つのです。
２つの物体の間で力が働き合って速度変化が起こる場合、その力が作用・反作用の法則を満たしているのであれば力の種類には関係なく運動量の和が保存されるのです。力の大きさが一定である必要もありません。
コツンとぶつかる衝突でも、グシャっと潰れる衝突でも、ジワーっと速度が変わる場合でも全て同じ扱いになります。力の働き方の違いで速度変化に要する時間が変わったり、エネルギーの和が変化したりしますが運動量の和は変化しないのです。

ジワーと速度が変わる場合も衝突だと言ったのは「衝突として考えたものと扱いが同じだ」という意味です。

「保存則」と言うとエネルギー保存則ばかり考える傾向があるようです。等加速度運動でなくても使うことが出来ますので力学の問題を解くのによく使われます。運動量保存則も重要な法則です。エネルギー保存則よりも基本的なものかもしれません。
運動量保存則は「２つの物体をあわせた重心の運動は２つの物体の間に力が働いていても変化しない」ということと同じ内容です。これはまた「外力が働いていなければ重心の運動は変化しない」という表現に書き換えることが出来ます。
大きさのある物体を重心の一点で代表させて扱うことが出来るのもこの性質があるからです。物体を「質点」として考えるというのは力学の出発点になっています。

運動量保存則は衝突で使う、
→衝突でしか使わないので狭い範囲でしか使うことの出来ない法則である
高校生にはこういうイメージの誤解があるように思います。
だからこそ「２つの物体の間に力が働いて速度が変化する現象は全て衝突として扱うことが出来る」という扱いに抵抗を感じるのでしょう。

回答No.4

Akira_Oji

もう既に回答はなされているわけですが、Ｎｏ．２のrnakamraさんのようにすぐには、「運動量保存でいける」と気づかない凡人もいるわけです。
また、この問題では運動エネルギーは熱に変わって保存されませんからＮｏ．１さんの主張は却下されます。Ｎｏ．３さんも回答されて正答も提示されていますが、衝突の問題であると強調されすぎているので質問者さんには（私にとっても）どこが衝突の問題なのか、あまりはっきりとはしていません。この「完全非弾性衝突」はゆっくりと時間をかけて行われているので、「衝突らしからぬ衝突」です。

で、私の答はといえば、既にＮｏ．３さんの回答のなかに既に提示されているわけですが、２つの物体Ｍとｍの運動方程式を立てます。２つの物体Ｍとｍの速度をあらわすのに、Mを添え字１で、 mを添え字２で表すとして、運動方程式は, 垂直抗力ＮはＭｇで摩擦係数をuとすれば、摩擦力はuMgとなるので、
M(dv1/dt)=-uMg
m(dv2/dt)=+uMg

これらは変形すれば次のようになります。
(dv1/dt)=-ug
(dv2/dt)=+uMg/m

これらを積分して(t=0のとき v1=V, v2=0という初期条件で)
v1=-ugt+V (1)
v2=+(uMg/m)t (2)

これらから、速度が同じになる時間を求めると(v1=v2と置いて)

(uMg/m)t＝-ugt+V (3)

t=Vm/{ug(M+m)} (4)

(4)を(1)あるいは(2)に代入して、２物体の最終速度v1'あるいはv2'は

v1'=v2'=(M/(m+M))V (5)

となります。これは少し変形すると、v1'=v2'=V'として

(m+M)V'=MV (5)'

となりますので、運動量保存則を表していることは、Ｎｏ．２とＮｏ．３のおっしゃる通りになっており、それに最初から気が付いておれば、早く解けるわけですが、回り道をして「そういうことか。」と分かるというわけです。

回答No.3

htms42

摩擦のない平面と書かれていますが「水平な平面上」ですね。
条件を抜かさないようにしてください。

どういうことが起こるかをまず考えます。
質量Ｍの物体（Ａ）は初速度Ｖで運動しています。質量ｍの物体（Ｂ）との間には摩擦力が働きます。
Ａが減速されます。Ｂは加速されます。
摩擦力は一定ですから加速度ａ、ｂも一定です。
Ａの速度は　Ｖ’＝Ｖ－ａｔ　（ａ＞０）
Ｂの速度は　ｖ＝ｂｔ　　　（ｂ＞０）
です。摩擦力の大きさをｆとします。
ｆ＝Ｍａ＝ｍｂ
です。

ある時間たつとＶ’＝ｖになります。
ここで相対速度がゼロになります。Ａ、Ｂには水平方向には摩擦力以外の力は働いていません。相対速度がゼロになったのですから静止摩擦力に変わります。静止摩擦力はＡ、Ｂを相対的にずらすような外力が働かない限り働きません。外力は働いていませんので静止摩擦力も働かないことになります。一体となって運動します。外力は働いていませんので等速度です。

こう考えるとこれはＡ、Ｂの間の衝突の問題であるということがわかります。Ａが動き始めてから一体となって等速度で動き始めるまでの時間が衝突の時間です。別々の運動状態にあったものが一体となって運動するようになるのですから完全非弾性衝突です。
Ａ、Ｂの間に働く力が速度変化の原因になっています。
作用反作用の関係にある力が速度変化の理由になっていますから運動量保存の関係が成り立っています。
運動量保存の式は
ＭＶ＝(Ｍ＋ｍ)Ｖ’
です。
Ｖ’＝・・・
です。
（式としては短いです。でも何が起こっているかを考えると長くなります。問題集の回答を見れば最後の式しか載っていません。でもこれが衝突の問題であるとわからなければ解けなくなります。解けるでしょうがものすごくややこしくなります。）

回答No.2

rnakamra

2体間の間でのみ力が働いている限り、エネルギーのロスはあったとしても運動量は変化しません。

上の物体のみがVの速度で動いているときと両者が一体になって速度V'で動いたときのそれぞれの運動量を求めて運動量の和が等しいことから式を導けばよい。

回答No.1

noname#160321

摩擦でエネルギーが失われなければ、mの初エネルギーはｍ＋Mの最終エネルギーに等しい。