締切済み 固有値を求めるためのプログラム 2009/07/20 12:35 現在、固有値問題を数値計算するプログラムを作っています。 その際、固有値の値を変化させ、固有値方程式の値ができるだけ0に 近づくときの値を固有値としていますが、他にいい解き方ってあるの でしょうか? みんなの回答 (2) 専門家の回答 みんなの回答 Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2009/07/22 00:21 回答No.2 わざわざ自力で作るなら, 例えば Householder変換で三重対角化してから QR 分解とかなんとかかんとか. Strum 列から二分探索なんかもあるけどね. でも, 課題でもなければわざわざ自分で作ることもないような気がする. 質問者 お礼 2009/11/01 12:35 ありがとうございます 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する(1) Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2009/07/20 23:08 回答No.1 「固有値問題」っていろいろなものがありそうなんですが, あなたが解こうとしている「固有値問題」はどのようなものですか? 質問者 補足 2009/07/21 18:54 行列の固有値問題です。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 固有ベクトルのプログラムによる求め方で困っています!!! 固有ベクトルの求め方について質問です。 主成分分析をするため、 ヤコビ法やパワー法をプログラム化して 固有値・固有ベクトルを求めました。 すると、第2,3主成分あたりから、 固有ベクトルの符号が逆になってしまうのです。 例えば、正解は「-4.5」の時、 「4.5」のように、 値は同じなのですが、 符号が逆転してしまいます。 プログラムは既に完成されたのを コピーしているので、 プログラムが変ということはないと思います(自分でも中身をチェック済み)。 ちなみに固有値は完璧です。 符号が逆転するという問題は、 どのように解決したらよろしいでしょうか。 分かる方、ぜひ教えてください!! 固有値 この問題がまったく何を言っているのかわかりません。。固有値は|A-λE│=0の固有値方程式を解いて、固有値λを求めればいいんですよね?参考書などを見ればちょっとした計算式と言葉で書いてあるだけで詳しい解きかたが書いていません。永年行列式をサラスの公式なり余因子展開なりで展開すると、λに対する三次方程式が得られ、それを解けば固有値がわかると教えていただいたんですがそれも何を言っているのかよくわからなくて。どうかできるだけ計算過程も詳しく教えてください。お願いします。 行列Aの固有値と対角化を以下の手順で考えていこう。 0 1 0 ( 1 0 0 ) 0 0 0 (1)行列Aの固有値を求めなさい。数量の検算には、固有値の和が行列Aのトレースに等しいことに注意せよ。 (2)固有値に属する固有ベクトルを求めなさい。 (3)行列Aの固有ベクトルを列ベクトルとして任意の順に並べて作った行列Pを示しなさい。 3×3行列の固有値と固有ベクトル 以下の行列Aの固有ベクトルを求めようとしているのですが,解を見つけられないでいます. 2 1 0 1 2 0 0 0 -2 計算を進めた結果,固有値λは3,1,-2となり,λ=3,1に対応する固有ベクトルはそれぞれ[1,1,0]t,[1,-1,0]tとなったのですが,λ=-2の場合で求めた固有ベクトル[1,1,k]t(kは任意の実数)がAx=λxに対応しない値になってしまいます.私の計算に何か問題があるのでしょうか? また,行列Aは対称行列なのでそれぞれの固有ベクトルの内積は0になると思うのですが,固有ベクトルの値が得られないことと何か関係があるのでしょうか? 回答よろしくお願いします. 複素数の固有値の求めるプログラムについて 現在、C言語でプログラムを組んでいるのですが、複素数からなる行列の固有値を求めるプログラムがどうしてもつくることができません。 インターネットやプログラムのパッケージなどを調べてみたのですが、実数からなる行列の固有値を求めるプログラムしか載っておらず、勉強不足によりそれを複素数の場合に拡張することもできませんでした。 もしよければ、プログラムの組み方や実数のプログラムから複素数のプログラムへの替え方のこつ、もしくは「この本に載っていたよ」など、どんな情報でもかまいませんので教えて頂けないでしょうか? すいませんがよろしくお願いします。 固有値 この問題がまったく何を言っているのかわかりません。。固有値は|A-λE│=0の固有値方程式を解いて、固有値λを求めればいいんですよね?参考書などを見れば言葉で書いてあるだけで詳しい解きかたが書いていません。どうかできるだけ計算過程も詳しく教えてください。できれば(1)と(2)だけでも結構です。お願いします。 行列Aの固有値と対角化を以下の手順で考えていこう。 0 1 0 ( 1 0 0 ) 0 0 0 (1)行列Aの固有値を求めなさい。数量の検算には、固有値の和が行列Aのトレースに等しいことに注意せよ。 (2)固有値に属する固有ベクトルを求めなさい。 (3)行列Aの固有ベクトルを列ベクトルとして任意の順に並べて作った行列Pを示しなさい。 (4)行列Aはこの行列Pによって対角化可能であるかどうかどうか調べなさい。 (5)行列Pの転置行列tPを示し、行列Pとの積tPPを計算しなさい。 (6)行列Aが行列Pによって対角化可能であるならば、対角化されることを示しなさい。 固有値問題・・・ 固有値問題のプログラムをつっくっていますが、固有振動数の答えの中にマイナスの値がでてきたらおかしいですか? 固有振動数は、1秒間に振動する数ですよね?それがマイナスっていうことのイメージがわかないんですが・・・ よろしくお願いします。 対称行列の固有値 次の対称行列 1 -3 2 -3 2 1 2 1 3 の固有値xを求めたいのですが、 固有方程式が x^3-6x^2-3x+42=0 となり因数分解ができません。 対称行列の固有値は必ず実数となる らしいので私の計算間違いかと思いますが、 何度計算しても同じ固有方程式になってしまいます(T T) どなた様か御指導願います。 固有値 固有ベクトル 固有値を求める場合の固有方程式について質問させて頂きます。 固有値と固有ベクトルの定義は、 n×n行列Aに対して、λ∈C,x∈C^nが Ax=λx |x≠0 を満たすとき、λをAの固有値、xをλに対するAの固有ベクトルという。 固有値を求める際の固有方程式ですが、 私の手元にある参考書では、 |λI-A|=0とあります。 web等で調べると|A-λI|=0という表記もありました。 Iは単位行列を表します。 |λI-A|=0と|A-λI|=0はどちらも正しいのでしょうか? また、なぜ等しくなるのか教えて頂けないでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。 固有値 次の行列の固有値と固有値に属する固有ベクトルをもとめよ。 (1)(-2) (2)(-3) といゆ問題なんですが、固有値を出すと1±√-1と言う様な複素数が出てくるのですが、 固有値に複素数ってありですか??それとも計算ミスとか、問題ミスですか?? この場合答えはなんて書けばイイですか?? 固有値について(ずっと悩んでます;;) 固有値、固有ベクトルを求める問題なのですが教科書を見ても固有値を出す過程が飛ばされていてわかりません。 ずっと色々なサイトを見て回ってはいるもののやはり理解できずにとても悩んでます。 お手数をかけますが、固有値を出すまでの計算式を省略せずに書いて頂けないでしょうか? 本当に困っているので優しい方がいましたらお願いします;; ( 3-λ 2 -2) (-2 -2-λ 1) ( 1 2 -2-λ) 固有値について 主成分分析をするために、固有値と固有ベクトルを求める問題を、パソコンを使って解いています。 計算した答えを見てもらったところ、「固有値がこんなに大きいのはおかしいなぁ。ちゃんと正規化した?」と言われました。 固有ベクトルを正規化するなら理解できるのですが、固有値もなにかで正規化するものなのでしょうか? よろしくおねがいします。 行列の固有ベクトルの解法 現在行列の固有値と固有ベクトルをもとめるプログラムを作成しています。 手順としては、入力行列をハウスホルダー法により三重対角行列に変換し、その後QR法で対角化を行い固有値を求めます。 固有ベクトルはLU分解を使用して固有値ごとに求めていこうと考えました。 現状固有値を求めるプログラムは作成できました(そして正しく求められていることも確認しました)。そして行列のLU分解を行うプログラムまで作成できたのですが、LU分解後の行列から固有ベクトルを求める方法がわかりません。 詳しく説明します Ax = λx を (A - Iλ)x = 0 として、この(A - Iλ)をLU分解しました。 すると式は LUx = 0 となり 最終的に Ux = 0 をとく問題になります。 ここで行列Uは上三角行列なので、1次の連立方程式を解くように、行列Uの右下の要素を使って計算を始めていくのですが、自分がなにか勘違いをしているのだと思うのですがこの方法で計算すると固有ベクトルが全て0になってしまいます。 行列U x 0 | 2 3 4 5 | |x1| = |0| | 0 4 2 9 | |x2| = |0| | 0 0 7 5 | |x3| = |0| | 0 0 0 8 | |x4| = |0| このような図式になり、固有ベクトルであるxを求めていくのですが、x4から順にもとめても0にしかならないんです。 下記のサイトを参考に学んでいたんですが、この部分が分からずにいます。 http://hooktail.org/computer/index.php?KL%C5%B8%B3%AB2 どこを勘違いしているんでしょうか? アドバイスをお願いします。 固有ベクトルの求め方 |-ω^2 ω^2 0 | |ω^2 -2ω^2 ω^2 | | 0 ω^2 -ω^2| ただしωは実数の定数 という行列の固有値を求め、1番小さな固有値について、大きさ1の固有ベクトルを求める問題です。 計算をしてみると、固有値λ=-3ω^2、-ω^2、0と3つ求まり、1番小さい固有値は-3ω^2となると思います。 そこで1番小さな固有値を代入し、それぞれの行をω^2で割ったものが、次の行列になります。 |-4 1 0| | 1 -5 1| | 0 1 -4| これの大きさ1の固有ベクトルを求めたいのですが、計算がぐちゃぐちゃになってしまい、且つ答えの分からない問題ですので自分の解答にも自信がなく・・・。 解答までの解説をできるだけ詳しくしていただけると嬉しいです。よろしくお願いします! 3×3の行列 固有値 固有ベクトル 以下の添付画像の問題にとりくんでいます。 まず対角化して、その後Aのn乗をもとめようとしていますが、固有ベクトルがうまく求められません。固有値が±√3の時は問題ないのですが、√3iのとき固有ベクトルがうまくでません。 私の計算ミスですか?それとも方針が違いますか? どなたかこの問題の解き方をお教えください。 固有ベクトルの求め方の途中がわかりません。 http://web.sfc.keio.ac.jp/~watanabe/adstat5.pdf#search='固有値の求め方' 上のURLのページにある 3.固有ベクトルの求め方 のところで、 2つの連立方程式 2X1 + X2 = 5X1 3X1 + 4X2 = 5X2 を出すところまでは理解できるのですが、 その2つを解いて、 X1 = 1, X2 = 3 と、いきなりなっている部分の意味が解りません。 2つの連立方程式を私なりに解くと、0になってしまうと思うのですが・・・ 解き方が違うのでしょうか? すみませんが、ここの丁寧な計算を教えて下さい。 よろしくお願いします。 固有値の問題に関して 交代行列Aが固有値λをもてば、-λもAの固有値である。 って問題なんですが、旨く導けないです。 Ax=λx (xは固有ベクトル λは固有値) を変形して transport(A)=-Aを利用して、 Ax=(-λ)xに変形しようと自分は、考えたんですが 殆ど計算しないまま詰まってしまします。 この方法では、無理なんでしょうか? 他のやり方でもいいのですので、どなたかご教授頂けないでしょうか? お手数ですが、よろしくお願いします。 固有値と固有ベクトル |1 -1| 2×2行列式A =| | |4 -3| の固有値と固有ベクトルを求めよという問題なのですが、 まず 与式=|1-t -1| |4 -3-t| サラスの方法で (1-t)(-3-t) - (-1)・4 =t^2 + 2t 1 =(t+1)^2 となるので固有値をλ1,λ2として、 λ1=-1,λ2=-1 ここまではできたのですが、固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。 一応教科書の例題に沿ってやると、 固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると A=|1-(-1) -1 | |4 -3-(-1)| =|2 -1| |4 -2| よって 2x1-x2 = 0 4x1-2x2 = 0 この二つは同一方程式より、x1 = 2x2 任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、 x = αt[1,2] しかし、答えには、 x1 = αt[1,2] x2 = βt[1,2] + αt[0,-1] とありました。 参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。 3×3行列の固有値 3×3の行列Aの固有値を求めるという問題です det(A-tI)=0を計算しtを出すという作業で サラスの方法や余因子展開を行えば解けるには解けるのですが 非常に計算がめんどくさいのです 何か他に良いやり方がありましたら教えてください 行列の積の固有値 「nxn正則行列A,B,X=ABに関して,AとBの固有値と固有ベクトルが分かっているときに,Xの固有値と固有ベクトルを求めよ.」 という問題が解けません.どなたかお分かりになる方いらっしゃいますでしょうか? 補足 難しさは変わらないと思うのですが,Aは上三角行列,Bは下三角行列,X,A,Bは確率行列(全ての行を足すと(1,1,...,1)となる)という条件がありました. ですので,X,A,Bはそれぞれ固有値1を持つというのは分かります.この条件を使わないほうがいいのですが,使った場合でもありがたいです. なお,反復法などを用いて数値計算的に解きたいのではなくて,解析的にビシッと解きたいので,よろしくお願いします. ヤフー知恵袋のほうでも質問させていただいたのですが,有効な解が得られれませんでした. 教科書や,問題集の練習問題などではなく私が個人的に解きたい問題です. 固有値問題 固有値の証明問題をやっています。 7割くらいは解けたのですが、以下の問題がわかりません。 (1)λ1,λ2,...,λnがAの特性方程式の解であれば、 |A|=λ1λ2...λnであることを示せ (2)Aをn次の複素正方行列、A^*をAの共役転置行列とするとき、 A^*とAの積の固有値が正、または0であることを示せ (3)3次の直交行列は1またはー1を固有値に持つことを示せ 以上のような3つの問題があります。 どの問題も、イマイチ証明の筋道が見えてきません。 ヒントでもかまいませんので、どなたかよろしくお願いします。 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば? 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