直線導体の中に穴があるときの穴の内部磁界

質問

図のように直線導体があって、中に穴（真円）が開いてます。
この穴の内部の磁界を求める問題の答えの解説がわからなくて困ってます！

空洞に電流がない状態＝（半径aの円柱に穴がなく一様な電流密度jが流れているときの磁界H1）＋（半径ｂの穴の部分にだけ-jの電流密度が流れているときの磁界H2）
っていう考え方はわかります。
解答では、
まずH1をアンペールの法則で求める。ここで+jを画面から奥へ向かう方向とし、H1は右回り(ちなみにH1=rj/2とでました)
つぎにP点を考えてH1をｘとｙ方向に分解する。
ここで私の考えでは、自分で描いた図（問題図の右上）で考えると、
(1)：H1x＝H1sinθ＝H1(y/r)
(2)：H1y＝H1cosθ＝H1(x/r)

しかし、(2)の方は間違いのようで、正しい考え方はH1y＝(-x/r)
でした。これでは、私が描いた図の矢印方向と逆になってしまいます。
しかしそうであれば、もはやH＝Hx＋Hy（ベクトル表記：全部太文字）が成り立たなくなります。
これはどういうことなんでしょうか。
考えられるのは、私が描いた図がおかしいということくらいしか思いつけません。でも右ねじの法則で考えれば各矢印は間違ってないと思うんですけど・・。
どなたか親切な方のわかりやすい回答をお待ちしております！！

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> もしかして、私はベクトルの分解について勘違いしてるんでしょうか。

どうもそのようですね．

ベクトル H1 の偏角をφとしますと，一般的な関係は
H1x = H1 cosφ
H1y = H1 sinφ
です．
偏角は x 軸から反時計回りに測る約束になっていますから，
右上の図で H1 の偏角は
φ = (3/2)π+θです．
あるいは，時計回りに測れば (π/2) -θですから
φ' = -{(π/2) -θ} = -(π/2) + θ
と思ってもよい．
φとφ'の違いは 2πですから，sin や cos の値はどちらを使っても同じです．
で，
H1x = H1 cosφ = H1 sinθ
H1y = H1 sinφ = - H1 cosθ

普通は上みたいな面倒なことはせずに
「H1y の大きさは図から H1 cosθ，方向は -y 方向だから H1y = - H1 cosθだな」
とやっているわけです．

お礼

わかりやすい説明をありがとうございました！
おかげですっきりしました。

回答No.1

siegmund

まず，左下の図の軸が変ですね．
普通に縦軸が y，横軸が x，と見直すことにします．

で， H1 を求める．
電流は画面から奥方向なので，出来る磁界は時計回り．
はい，右上の図で合っていますね．
それで，H1y の向きがおかしい？
右上の図にあるとおり，H1 の y 成分は負ですから，
H1y = H1 (-cosθ) = (-x/r)
です．
ご自分で H1y が -y 方向を向いている図を描かれているではないですか．

この問題の答は y 方向に一様な磁界になりますね．
元の円柱とくりぬいた部分との中心がずれていますから，
空洞部分の磁界は場所依存性が複雑になりそうですが，
一様な磁界になるところが大変面白いところです．
H1x = H1(y/r) になっていて，H1 が rj/2 ですから，
r がキャンセルしてしまうところがミソです．

お礼

さっそくの回答ありがとうございました。
なぜcosθじゃなくて－cosθなのかがわからないのです・・
描いた図で考えたらH1にcosθかけたら下向きにH1yが出てくれると思ったのですが？
もしかして、私はベクトルの分解について勘違いしてるんでしょうか。