数列の最後尾を先頭に繋げて作られる環状の数列の呼び方は?

質問

ある数列を考えます。初項と終項が規定できます。今、「終項の次の項は、初項」と規則を作ります。するとぐるぐる回って、どこがはじめとも終わりともつかない、環状の数の構造（順序性はある）ができます。こういう環状の数列を研究する分野はあるでしょうか?

(1)そのような研究分野の名称
(2)そのような研究分野の応用例
(3)そのような研究分野の本とかURL
(4)そのような環状の数列をあらわす記法

などがありましたら教えてください。

回答No.7

motsuan

すっかり忘れてしまっていたのですが、
下で説明したような計算規則（？）を合同式といいます。合同式で検索してみればいろいろあると思います
（なお、下の説明と記号が違うと思いますが私のほうがおかしいのでＵＲＬの記号を使ってください）。
たとえば、
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/integer/in1/head-j.html
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/congruence.html

どのような経緯でこのような演算をお考えになったのか興味があるところですが、合同式の概念は数学に限らず
情報科学（符号理論や暗号）でも基本的な考え方なのでその手の入門書を読んでみるといいかもしれません。
ブルーバックスの一松信『暗号の数理』にはこの手の話がのっていたような気がします。
本としておすすめは草場公邦『ガロワと方程式』の最初の３０ページに合同の話が
コンパクトにまとまって例も豊富にかかれています
（この本自体は１６０ページ程度のガロワ理論の入門書です）。

追加の質問に関してですが、（記号や用語の意味は上側のＵＲＬを見てください）
（１）、（３）に関しては、整数の素数ｐを法とする剰余類に関しては、剰余類の元の間で加減乗除で閉じています。
剰余類で　ａ×ｂ≡１ mod p が成り立つときａに対してｂは一意的に決まって（つまり、逆数がただ一つ決まって）、この数を他の数に掛けることをａでわることと定義する（つまり、普通の計算と同じに考えると）、わり算もできます。
ところが、素数でない数ｑを法とすると、ｑは他の数によって、ｑ＝ ｕ×ｖ と表されるため、ａ×ｂ≡１ mod ｑ となるｂがａに対して一意的に決まらず普通のわり算とは変わってしまいます。つまり、一般には加減乗除ではなく加減乗が成り立つということです。
glairの表現でいえば、剰余類全体に剰余類のどんな元を掛けても、法が素数であえれば循環的な順序は変わらないが、素数でない場合は部分的にしか順序が保たれない。（・・・じゃあ、その部分的というのはどういうふうなのかというと、考えればわかると思いますが、私にはすぐにはむりでございます・・・。）
（２）に関しては、演算に関しては、基本的に加減乗除で考えると思います。ただし、演算として、普通の意味の加減乗除でないものも考えられ、その場合にはその演算規則により、剰余類が代数的に閉じているかどうか決まると思いますが、ここでの要点は、剰余類が数の組と演算の組でワンセットになっていて、そのとき初めて数学としての構造がきまって議論ができるということだと思います。したがって、特異な演算を考えるのはまた別な話になると思います。

こんなところでしょうか。

お礼

たびたびの回答ありがとうございます．大変助かります．合同式というのですね．なるほど…．ブルーバックス…ガロワ…群論を執筆している時期に、女性がらみのことで決闘に呼ばれて、そのため若くしてなくなったという数学の天才とかいう人…でしょうか…門外漢の私には、うわっ、ガロワ…すごい…という感じです（→いかにも素人の反応^^;)．この度は本当にありがとうございます．

回答No.6

motsuan

ごめんなさい。また間違えました。
「exp(ix)=exp(iy）となるxとyとを同一視すれば、0<=x<2πの実数で上の計算と同様の閉じた代数の系ができます。」
と書きましたが、これって、和についてのみですね。積は成り立ちません。本当にお恥ずかしい。

回答No.5

motsuan

naruseさんに対するお礼を読んでおもったのですが、「正しい循環的順序を持った方位角の循環的並びに関して、なんらかの演算操作を加えても、やはり正しい方位角の循環的並びが生まれる」というところから察すると、おそらく、剰余が作る代数のようなものをお考えなのではないでしょうか？
　たとえば、ある素数ｐを考えて、ｐで割ったあまり数の体系は代数的な演算に対して閉じます。ある整数xをｐで割ったあまりを x mod p と表記すると
　（x mod p）±（y mod p）=（x±y mod p）
　（x mod p）×（y mod p）=（x×y mod p）
が成り立ちます。（x mod p）は普通、0,1,2,...,ｐ-1で代表させて表せます。たとえば、(p-1)+1=p mod p=0 ですし、(p-1)×2 = 2p-2 mod p = p-2 のようにつじつまがあうということです。 「例えば、-1をかけると順序性が反転する。」という例をあげられていますが上の例でもそうなります。上の例では-1は(p-1)に相当します（(p-1)+1=0 などを考えていただければわかると思います。）
そして、
　(p-1)×1=　p-1, (p-1)×2 = 2p-2 mod p = p-2, (p-1)×3 = 3p-3 mod p = p-3,
　　 ..., (p-1)×(p-2) = p^2-3p+2 mod p = 2, (p-1)×(p-1) = p^2-2p+1 mod p = 1
となって、結果だけならべると、
　p-1, p-2, p-3, ..., 2, 1
となることが分かります。「例えば、定数を加減算しても順序性の正しさは維持される。」というのも、上のように確かめると確かにそうなっているのがわかるはずです。もし、このようなことを考えられるのであれば、代数の典型的な例として必ず教科書に載っていると思いますし、
整数論出発点の部分で出会うはずです。また、整数に限らなくてもexp(ix) (iは虚数単位）として、exp(ix)=exp(iy）となるxとyとを同一視すれば、0<=x<2πの実数で上の計算と同様の閉じた代数の系ができます。ただし、「例えば、4以上の要素からなる循環的並びを、順序性を維持したまま3要素まで恣意的に減じても、正しさは、は維持される。」というのが私にはよくわからなかったので、上の説明はピントをはずしていてるかも知れません。そのあたりが、glairさんの理論のオリジナリティーとして何か新しい概念を含んでいるのかもしれないと思いました。

ちなみに、私の前の回答を補足するとたとえば、
　(d^2/dx^2 + u(x))f(x) = 0
　f(x)=f(x+L)
という周期境界条件のついた微分方程式が与えられたとき、これを離散化して、L=Nw (Nは整数で、wは適当な小さな実数）とし、
　f(nw)=a(n)　(n=0,1,2,...,N-1)
となる数列{a(n);n=0,1,2,...,N-1}で解f(x)を近似すると、漸化式（？）
　a(n+1)+a(n-1)-2a(n)+ u(nw)w^2 a(n) = 0
で結ばれた数列ができます。そして、当然求めるべき数列の性質としては
　a(n+N)=a(n)
を要請するわけです。従って、この手の方程式に付随して、周期性のある数列が考えられます。ただし、glairさんがおっしゃっている、計算規則が成り立つかどうかは元の方程式によるわけで、たとえば、上の例でu(x)=0とすれば成り立つのではないでしょうか？（確かめてないですけど）

お礼

回答ありがとうございます．うーん、ドンピシャリという感じです．ありがとうごます．

私の能力不足で、何をコメントしたらいいかわからず、考えていたため、お礼が送れました．

実は、私にとってまだお聞きしたいことがある、ようです…、が、なんと聞いたらいいかわからない…(^^;)...

>そのあたりが、glairさんの理論のオリジナリティーとして何か新しい概念を含んでいるのかもしれないと思いました。
とmotuan様にご指摘いただいた部分を、私が明確にすれば良い、のだとは思うのです．しかし、この作業は私にとって簡単でなかったので、しばらく考え中です．これは宿題として…．

で、イメージとして余計に脇に逸れるやもしれず恐縮ですが、次のような再質問をさせて頂けましたら幸いです．

>ある素数ｐを考えて、ｐで割ったあまり数の体系は代数的な演算に対して閉じます
ということですが、
(1)この場合の、代数的な演算、の具体例としては、挙げていただいた「加減算」「-1の乗算」のほかに、どのようなものがあるでしょうか？　予想では(a)乗算は別に-1以外も全部ある．(b)除算はないorある…？ (c)べき乗も可能、などでは…など思えてきました．
(2)「代数的な」演算以外の、「演算」、に関して閉じる、ということもあるのでしょうか？その場合の具体例はどんなものがあるでしょうか？私にはイメージ湧きませんが一応念のため．
(3)上記2つ質問への答えのうち、順序性と関係を持つ結果を生むような演算にはどのゆうなものがあるでしょうか．（「加減算」「-1の乗算」をすでにに回答で挙げていただきました．それ以外にありますか？）

>…整数論出発点の部分で出会うはずです。
情報源への適切なポインター情報をありがとうございます．なにか整数論の(?)書籍を買うのがよいと、もちろん思うのですが、数学素人な私ですので、買っても私、全部は読ま（め?(^^;)ないだろうし、もし、よろしければ、整数論の出発点のあたりを詳述したような URLなど、万一ありましたら、ご教示頂けましたらたいへん幸いです．

この度はありがとうございました．

回答No.4

stomachman

一般名称じゃないですが「循環数列」で十分かと思いますよ。

さて、ちょっと補足をお願いします。

●数は自然数？それとも整数や実数でしょうか？

●その一巡のなかに、同じ数が２度以上現れるものを考えていらっしゃいますか？それとも一度きりでしょうか。言い換えれば、数列の中の一つの数に注目したたとき、その次に続く数がそれだけで決まっているでしょうか。

これらによって、扱い方が違ってくるように思われます。

お礼

回答ありがとうございます．いろいろ考えてから、少しでも意味のあるお礼と返事を書こうとしすぎて、お礼が遅くなり申し訳ありません．別記のような観点で、関心を持っています．また、なにかありましたら、どうぞ宜しくお願い申し上げます．

回答No.3

鳴瀬 美幸（@naruse）

motsuanさんの指摘のように、いろいろな分野で取り扱える内容だけに
特に研究分野として名称があるわけじゃないと思います。
ところで、glairさんが呼称する数列は限定された意味でしょうか。
自然数列（整数列）を想定しているならば「整数論」の範疇に
はいると思われます。順序性（循環的順序？と呼べばよいのかな）のみ
に着目してその構造の解明したいと思うならば「集合論」や「組み合わせ論」の
範疇でしょう。もうちょっと連続的な観点からも見てみたいならば
確か、「フラクタル理論」や「カオス理論」なんかで複素点列（または実数列）で
周期性をもったものの構造を位相的（もちろん代数的も含めて）に研究されて
いたんじゃないかなと記憶しています。（記憶違いでしたらゴメンナサイ。）
回答にはほど遠いのですが参考までに！

お礼

回答ありがとうございます。naruse様の切り口は私の意図するところに近いところから始まっておられて驚きです。

私が関心があるのは、naruse様の表現で、「自然数列（整数列）」で「循環的順序」を持った、ものです。

具体的には、(まるで小中学生のような話です）、「360度表記で表現されたいくつかの方位角を要素とする、循環的順序を持つ、数循環構造」です。例えば、{340, 15, 210, 228, （先頭に戻る)}です。数の作る循環的わっかです。先頭はありません。循環的順序はあります。今挙げた例は、実際の方位角の循環的順序　としては、「正しい」、と判定されえます。

正しい循環的順序を持った方位角の循環的並びに関して、なんらかの演算操作を加えても、やはり正しい方位角の循環的並びが生まれる、ということがあると思います。その規則を全部知りたい。

それらの規則を演算規則として使えば、正しい循環的順序を持った方位角の循環的並びに関して演算ができる。演算の結果も正しい循環的順序持った方位角の循環的並びである。その演算結果を利用して私は、自分の工学的研究の、支援をしたい。

このような要求を持った人は私のほかにも居るような気がしています。

上に述べた一般的規則の一個一個を知りたいといいましたが、もし、従来研究があるとしたら、それらは、例えば結合律とかなんとかいうような名前がついているのではなかろうか、とイメージしています。

それらの一般的規則を、道具として使いたいだけだったのですが、なかなかそのような従来研究が見つからなかったため、今では自分で一般的規則らしきものをかっ
てに洗い出して使っています。

私がかってに洗い出して使っている演算規則(?)は次のようなものです。
例えば、-1をかけると順序性が反転する。
例えば、定数を加減算しても順序性の正しさは維持される。
例えば、4以上の要素からなる循環的並びを、順序性を維持したまま3要素まで恣意的に減じても、正しさは、は維持される。
などなど。。。。を見出して、かってに使っています。

しかしそれがあっているのか、そして、他にもあるのではないか、と思って…。あっているとは思うのですが、なにかもっと、歴史的に有名な研究の流れ（例えば整数論とか）の一部として、表現すべきもとも思えて、そのあたりはどうなのかなと、を知りたくて…。

簡単に従来研究が見つからなかったので、やはり整数論の範疇を探すことになるのかも、と危惧しています(^^;)。（整数論は難しいという思い込みが私にはあるので…）。

あまり数学的なことに詳しくないので、なにか示唆、ご意見がありましたら、お教えください。
よろしくお願いします。

回答No.2

motsuan

ある種の方程式に周期境界条件を課したものの離散的なものと考えれば沢山あると思います。
たとえば、１次元の散乱問題などは量子群や可解模型との関係で盛んに研究されていたと思います。

非可換な数をつかって、組み合わせの母関数を考えたとき、何かしら面白い組み合わせの公式
（並び替えに制限がかかるということでなんらかの束縛条件つきの組み合わせになると思うのですが）が出て来るんじゃないかと夢想したりします。
たぶんそういう数学の分野があると思うのですが、専門家の方いかがでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。上記の概念は、私にとって、すぐには解りませんが、じょじょに役に立つ概念のような気がします。motsuan様が言われていますが、上記のあたりの専門家の方、なにかご意見いただけましたら幸いです。

回答No.1

senjyu

フィボナッチ数列のことでしょうか？

フィボナッチ数列でしたら、検索サイトで「フィボナッチ」、「循環数列」で
検索できます。

意図が違っていたらごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。フィボナッチ数列、ありましたね、そういうの。ただ、どんなのか忘れていました。そこで、「あれ、そんな身近な名称で、ぐるぐる回る数列があったっけ?」と思い、webで検索したら残念ですが意図するものと違いました。「循環する」、という日本語表現が似ていますが、その意味するところが違います。いずれにせよ、はやい段階での指摘をありがとうございます。またよろしく願いします。