定積分の問題の効率化

質問

f(x)=x^3+3x^2+x-1
とx軸とで囲まれる部分の面積を求める問題です。

x軸とf(x)との交点を±√2-1、-1と求めました。
そして、∫f(x)（-1～-√2-1）－∫f(x)（+√2-1～-1）をガリガリと
計算して、答え2を導きました。（３０分ぐらい。）

しかし、
この問題はもっと効率化できるところありそうなのですが、わかりません。以下のようなことを考えたのですが、確実なものがありません。

・偶関数や奇関数を用いたりすることで、簡単に…？

・一方が一方の２倍であることが分かれば、
　少なくとも計算量が半分になりそうです。
　∫f(x)（-1～-√2-1）＝１
　－∫f(x)（+√2-1～-1）＝１

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

f(x)=(x+1){(x+1)^2-2}
g(X)=X(X^2-2)=f(X-1)
なので、積分の変数変換x+1=Xをすればg(X)は奇関数になります。
∫[-1-√2,-1]f(x)dx+∫[-1,-1+√2]f(x)dx
x+1=Xと変数変換
=∫[-√2,0]X(X^2-2)dX-∫[0,√2]X(X^2-2)dX
=-2∫[0,√2]X(X^2-2)dX
=-2[(1/4)X^4-X^2] _(x=0,√2)
=-2[1-2]=2

お礼

感動しました。
変数変換というのは思いつきませんでした。
普通に計算したときの、１０分の１ぐらいの時間で解くことができました。

ありがとうございました。