偏微分の勉強の仕方

質問

こんにちは。
微分積分（数III）の勉強が一通り終わったので、都会の
予備校で教えているという偏微分を勉強したくなりま
した。大学受験にはいらない、ということですが、将来のために知っておきたくて。何か一冊、入門者むけのわ
かりやすいオススメの本、ありませんか？本屋さんに並んでいる大学の数学関連の本はとても難しく感じて読む
気力がわいてこないので。詳しい方、よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

再びお邪魔します。

＞＞＞一番わかりやすそうな熱伝導方程式を選んででググったらパニックになってしまいました。

そうですか。

こちらの（１）の式を見てください。
http://www.gaia.h.kyoto-u.ac.jp/~sakai/visual/3/index31.htm
Ｑ　＝　－Ｋ・∂θ／∂ｘ
これは平たく言えば、
熱いものと冷たいものとを接触させたとき、
その温度差（∂θ／∂ｘ）が１０℃のときと２０℃とでは、
熱の伝わり方が２倍違うことを表しています。
直感的に、わかりますよね？
Ｋの前にマイナス符号が付いているのは、
熱が移動する方向は、（温度が低いほうから高いほうではなく）
温度が高いほうから低いほうだということを示しています。
坂道にボールを置いたとき、ボールが坂を上っていかないのと同じです。
これも、直感的にわかりますよね？

そういう直感を元に「たぶん、こーじゃねーかな」と式を立ててみて、
それを実験結果と照合する、
というようなことを、学者さん達はやってきたわけです。

＞＞＞最小二乗法とは数IIIの近似式の関係でしょうか？それとも別物でしょうか。

最新の学習指導要領を調べてみましたが、
どうも、そういうことではないようです。

たとえば、実験で求められた（ｘ，ｙ）の形のデータが、下記の通りだとします。
（ｘ1，ｙ1）＝（0.0，0.2）
（ｘ2，ｙ2）＝（1.0，1.0）
（ｘ3，ｙ3）＝（2.0，3.8）
（ｘ4，ｙ4）＝（3.0，9.5）
（ｘ5，ｙ5）＝（4.0，15.9）

この５点をプロットしたグラフを、二次関数
ｙ　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
に近似するとします。
ｙを移項すると、
０　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ　－　ｙ
となります。
この式に対して１個のデータ（ｘn，ｙn）を実際に入れてみると、
当然ながら、誤差があります。
その誤差を　εn　と置けば、
εn　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ　－　ｙ
と書くことができます。
つまり、
ε1　＝　ａ・0.0^2　＋　ｂ・0.0　＋　ｃ　－　0.2
ε2　＝　ａ・1.0^2　＋　ｂ・1.0　＋　ｃ　－　1.0
ε3　＝　ａ・2.0^2　＋　ｂ・2.0　＋　ｃ　－　3.8
ε4　＝　ａ・3.0^2　＋　ｂ・3.0　＋　ｃ　－　9.5
ε5　＝　ａ・4.0^2　＋　ｂ・4.0　＋　ｃ　－　15.9
です。

誤差の２乗は、
ε1^2　＝　（ａ・0.0^2　＋　ｂ・0.0　＋　ｃ　－　0.2）^2
ε2^2　＝　（ａ・1.0^2　＋　ｂ・1.0　＋　ｃ　－　1.0）^2
ε3^2　＝　（ａ・2.0^2　＋　ｂ・2.0　＋　ｃ　－　3.8）^2
ε4^2　＝　（ａ・3.0^2　＋　ｂ・3.0　＋　ｃ　－　9.5）^2
ε5^2　＝　（ａ・4.0^2　＋　ｂ・4.0　＋　ｃ　－　15.9）^2

全部足せば、
Ｓ　＝　Σ[n=1→5]εn
　＝　（ａ・0.0^2　＋　ｂ・0.0　＋　ｃ　－　0.2）^2
　　　＋　（ａ・1.0^2　＋　ｂ・1.0　＋　ｃ　－　1.0）^2
　　　＋　（ａ・2.0^2　＋　ｂ・2.0　＋　ｃ　－　3.8）^2
　　　＋　（ａ・3.0^2　＋　ｂ・3.0　＋　ｃ　－　9.5）^2
　　　＋　（ａ・4.0^2　＋　ｂ・4.0　＋　ｃ　－　15.9）^2

Ｓを最小にするのが、最小二乗法です。
こうしてみると、Ｓの式は、ｘ、ｙではなくａ、ｂ、ｃについての方程式と見なすことができますよね？
すると、
ａについて極小にするためには、∂Ｓ／∂ａ　＝　０
ｂについて極小にするためには、∂Ｓ／∂ｂ　＝　０
ｃについて極小にするためには、∂Ｓ／∂ｃ　＝　０
この３本の連立方程式から、ａ、ｂ、ｃを決めることができます。

ご参考に。

回答No.7

syacho-

早速、購入していただけたようで光栄です。その本の内容が全て理解できれば、大学１年の微積はほぼ完璧ですので、がんばってみて下さい！
さて偏微分ですが、確かに物理の様々な分野で応用されています。しかし、数学好きの方だと思いますので、あえて数学的な視点から回答いたします。
曲面において「極限」を考えようとすると、大変厄介なことがあるのです。ある点への近づき方が無数にあることです。（曲線の場合だと、右極限・左極限の２種類だけでしたね。）そこで、近づく方向を固定しようというのが偏微分の基本的なアイデアです。xによる偏微分といった場合、x軸に平行な方向で極限を考えるわけです。これは、演算としてはyを定数とみなして微分することであり、図形的に解釈すると曲面の切り口の微分を考えていることになります。
私は偏微分を導入する際、このような話をするようにしていますが、いかがでしょうか？少しでもイメージがつかめたら幸いです。

追記．この偏微分を発展させることで、多変数関数の極値を調べる問題が解けるようになります。大学１年では2変数関数の極値を求めることが最終目標でした（ウチの大学では）。

回答No.6

syacho-

先ずは謝罪いたします。「解析学入門」ではなく「解析入門」でした。私もamazonで検索してみましたが、下記の物でまず間違いないと思います。
http://www.amazon.co.jp/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%85%A5%E9%96%80-%E7%86%8A%E5%8E%9F-%E5%95%93%E4%BD%9C/dp/4595308612/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1245423077&sr=1-1
リンクが機能しないようであれば、「 解析入門 (単行本)　熊原 啓作 (著) 」といったキーワードをお試しください。

お礼

今日、アマゾンから解析入門、が届きました！急いで開封して
読みにかかったのですが、最初の方はああ、わかるなあ、という
かんじなのですが、ランダウ記号の記述のところから、徐々に怪
しくなってきました・・・まだ、偏微分は早すぎたのだろうか？
と自問自答している状態です。僕の頭の中では、偏微分→微分が
発展したもの→２変数を微分→つまり曲面の問題、という捉え方
だったのですが、どこかに早とちりがあったのでしょうか？そも
そも偏微分が何のためにあるか考えないで、ここまで来たのが間
違いのような気もします。ご存知なら、偏微分ってこんなときに
使うよ、と言っていただければイメージがわきますが。ただ、下
にも書いたように、物理がかなり不得意で、物理からのアプローチ
ではなかなか理解できませんでした。でも、結局は物理に帰趨す
るんなら物理の理解が前提かなー、って思います。いろいろ混乱
していてわからない状態なのでよろしくお願いします。

回答No.5

syacho-

はじめまして。
確かに大学数学の教科書はどれも小難しく書かれていて、読みづらいですよね。いずれは慣れていかねばなりませんが。
本屋さんに売っているかどうかは分かりませんが、
放送大学教材の「解析学入門('08)藤原啓作」がオススメです。高校数学ライクに書かれているため、読みやすいかと。放送大学の教材なので、放送を見なければならないのか！？と思われるかもしれませんが、放送なしでも十二分に勉強できます。amazon等で検索すると見つかるかと思いますので、お試しください。

お礼

お礼というか、質問になりますが、放送大学にといわせてみました。
０８という年ですと、数学は解析入門という題しかなく、著者は隈原
先生ということですが、この本で間違いないでしょうか？たびたびす
みません。

補足

お返事遅くなりました。本屋さんではないようです・・・
早速アマゾンで注文してみます。みないとわからないと思うので、
まだ締め切れませんが、すみません。

回答No.4

sanori

すみません。１行訂正。

【阿呆】
この式に対して１個のデータ（ｘn，ｙn）を実際に入れてみると、
当然ながら、誤差があります。
その誤差を　εn　と置けば、
εn　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ　－　ｙ
と書くことができます。

【訂正後】
この式に対して１個のデータ（ｘn，ｙn）を実際に入れてみると、
当然ながら、誤差があります。
その誤差を　εn　と置けば、
εn　＝　ａｘn^2　＋　ｂｘn　＋　ｃ　－　ｙn
と書くことができます。

補足

詳しく書いていただいてありがとうございます！いま、アマゾンで入
門書を買ってがんばってみようと思います。それからチャレンジした
いと思います。まだ締め切れませんが、ご理解ください。

回答No.2

hugen

http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/609.html

回答No.1

sanori

こんばんは。

具体的な書籍名は挙げられませんが、
「偏微分なんて、何のためにあるの？」ということがわかると楽しいです。
そこで、下記のことが書かれている書籍をお勧めします。

・最小二乗法（一次関数への近似、二次以上の関数への近似）
・波動方程式
・電磁気学のマクスウェル方程式
・拡散方程式
・熱伝導方程式

以上は、いきなり応用ですけれども、珠玉の応用例と言っても過言ではありません。
上記を学んでから数学の本で勉強するほうが、
言わんとしていることが直感的にわかりやすくなります。
（私自身が、その経験者）

以上、ご参考になりましたら幸いです。

補足

ご回答ありがとうございます。最小二乗法とは数IIIの近似式の関係でしょうか？それとも別物でしょうか。
そのほかの４つは物理に関係がありそうですね。実は物理は苦手で・・・一番わかりやすそうな熱伝導方程式を選んででググったらパニックになってしまいました。書籍は、やっぱり物理学とかの本をよまなければだめですか・・・偏微分のイメージはなんか球面の面積を求めたりとかですか？他はどう使うのか知りません。確かに物理への応用が多いのかもしれませんね。嘆いていてもしょうがないので最小二乗法から
てをつけたいです。地方なので大きい書店とかありません。どこらへんのジャンルでどんなレベルのものを探せばいいですか？それともまだ偏微分なんて恐れ多いのかな。自信がなくなってきました・