クーロン力を求める問題で

質問

どなたかこちらの問題の解法などをご教授ください。

距離aだけ離れた無限に長い平行直線状針金が、それぞれ一様な線密度λ1、λ2で帯電している。
二つの針金の間に働く単位長さあたりの力はいくらか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

まずは、片方の針金（λ1の方）の１点を点電荷「Ｑ」として考えます。電荷量はＱとします。

Ｘ－Ｙ座標系で、針金をＸ軸とし、点電荷Ｑの位置を（０，ａ）とします。

Ｑから見て、左右に線対称な状況になります。
ですから、Ｑに対してかかる力はのうち、Ｘ軸に平行な成分は対称性によって相殺して、合計ゼロになります。
ということは、針金に垂直なＹ方向の成分の力だけを考えればよいわけです。

１／（４πε）　を書くのが面倒なので、「定数」と書くことにします。

針金上の１点（ｘ，０）とＱとの距離ｒは、√（ｘ^2＋ａ^2）　です。
ですから、
その箇所からＱに与える力は、
定数・λ2・ｄｘ／ｒ^2
　＝　定数・λ2・ｄｘ／（ｘ^2＋ａ^2）
です。
Ｙ方向の成分だけにするには、ａ／ｒ　＝　ａ／√（ｘ^2＋ａ^2）　をかければよいので、
力のＹ方向成分　＝　定数・λ2・ａ／√（ｘ^2＋ａ^2）・ｄｘ／（ｘ^2＋ａ^2）
　＝　定数・λ2・ａ・ｄｘ／（ｘ^2＋ａ^2）^(3/2)

これを、ｘ＝－∞～＋∞　で積分すれば、針金１本からＱが受ける力になります。

∫[ｘ＝－∞～＋∞] 定数・λ2・ａ・ｄｘ／（ｘ^2＋ａ^2）^(3/2)

ここで、　ｘ　＝　ａ・tanθ　と置けば、

・[ｘ＝－∞～＋∞]　は、［θ＝－π／２～π／２］　に相当

・ｄｘ／ｄθ　＝　ａ／（cosθ）^2　により、
　ｄｘ　＝　ａ・ｄθ／（cosθ）^2

・（ｘ^2＋ａ^2）^(3/2)　＝　（ａ^2・（tanθ）^2　＋　ａ^2）^(3/2)
　＝　ａ^3・（（tanθ）^2　＋　１）^(3/2)
　＝　ａ^3・（（sinθ／cosθ）^2　＋　（cosθ／cosθ）^2）^(3/2)
　＝　ａ^3・（１／（cosθ）^2）^(3/2)
　＝　ａ^3／（cosθ）^3

よって、
∫[ｘ＝－∞～＋∞] 定数・λ2・ａ・ｄｘ／（ｘ^2＋ａ^2）^(3/2)
　＝　∫［θ=-π/2～π/2］ 定数・λ2・ａ・ａ・ｄθ／（cosθ）^2・１／（ａ^3／（cosθ）^3）
　＝　∫［θ=-π/2～π/2］ 定数・λ2・ａ・ａ・ｄθ／（cosθ）^2・（cosθ）^3／ａ^3
　＝　∫［θ=-π/2～π/2］ 定数・λ2・ｄθ・cosθ／ａ
　＝　定数・λ2／ａ・∫［θ=-π/2～π/2］ cosθ　ｄθ
　＝　定数・λ2／ａ・［sin（π／２）－sin（－π／２）］
　＝　定数・λ2／ａ・［１－（－１）］
　＝　定数・λ2／ａ・２
　＝　１／（４πε）・λ2／ａ・２
　＝　λ2／（２πεａ）

と出ました。

あとは、Ｑを、λ1のほうの針金の単位長さ当たりの電荷として考えればよいので、
上の計算結果にλ1をかけるだけでいいはずです。

なお、私は計算が不得意なので、上の計算が正しいかどうかは、確認してください。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

こんなに丁寧にありがとうございました。
片方を点電荷とみなしてシンプルに考えるのですね。
ちょっとそう見なすのは抵抗がありますが、確かにＹ方向の合力しかないのでどんな長さにかかる力でも結果を片方の針金にかかる長さだけ倍すれば求まりますね。