当番の組み合わせで悩んでいます。

質問

おそらく数学的な思考方法で解決できそうな気はするのですが、実際に可能なことなのかどうかがわからないのでお助けください。「可能か不可能か」、「可能であれば実際の方法は？」「不可能であるならば、理論的にどこが障害か」という点でお聞きしたいと思います。

条件はこうです。
１班から４班、４つの班を、２つずつ組み合わせて、春・夏・秋・冬のそれぞれに当番をさせたいと思います。
たとえば、春に「１・２班」、夏は「３・４班」という具合です。

ただし、極力、同じ班が２期続けて当番になることは避けたいと考えています。まったく不可というわけではなく、その場合は、負担を４班公平にできればいいと考えます。(例　一巡する間に、各班が、それぞれＸ回ずつ、２期連続で担当する)

さらに欲を言えば、休み方 (１期おきで休む、２期おいて休む、のパターン)も、可能な限り公平にしたいと思っています。

もちろん大前提として、「おおむね公平に見えるように、各班の当番時期はばらける」、つまり、ある班は夏を担当する率が高く、ある班は冬を担当する率が高い、ということがないようにしなければなりません。

４班の組み合わせは６とおりですので、４シーズンとからめて、２４期、すなわち６年で一巡りでうまくできるのかな、とはおぼろげながら思っています。

今現在、Excelを使い、実際に組み合わせを表に置いていきながら試行錯誤しているのですが、どうにも非効率です。数学的に解決できる方がいらっしゃいましたら、なにとぞ、力をお貸し下さい。よろしくお願いします。

回答No.6

Knotopolog · ベストアンサー

＃３，＃４です．

組み合わせは，(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) の６通りしかありません．
各班が全くダブらない組み合わせは，「(1,2)　(3,4)」と「(1,3)　(2,4)」と「(1,4)　(2,3)」の３通りのみです．そこで，

１年目．(1,2) (3,4) (1,3) (2,4)
２年目．(2,3) (1,4) (1,2) (3,4)
３年目．(2,4) (1,3) (1,4) (2,3)
４年目．(3,4) (1,2) (1,3) (2,4)
５年目．(1,4) (2,3) (1,2) (3,4)
６年目．(1,3) (2,4) (1,4) (2,3)

なら，どうでしょうか？

お礼

具体的な例を挙げていただき、助かりました。
現在、当事者に検討をさせています。
どうもありがとうございました。

回答No.5

stomachman

ANo.2のコメントについてです。

> 当事者から、「なぜ１班と３班の組み合わせがないのか」と突っ込まれました。
> なんと答えたら良いものでしょうか。

　わはは。このような曖昧な課題では、やってるうちにどんどん条件が変化するのは、ま、やむを得ないでしょうね。さて、班分けを6年間も固定メンバーにしておくには、それなりの理由があるに違いない。すると、じっくり考えれば他にも満たしたい条件が出てくるかも知れません。
　ということですと逆に、「班同士の相性を考えれば、１班と３班の組み合わせがないという性質は、どの班を１班、３班、と名付けるかによっては必ずしも悪いとは限らないかも知れませんよ」ってのはどうでしょうか。って駄目か。

　紙と鉛筆で出来る規模じゃなくなってきたら、せっかくパソコンがあるのだから本来の用途で使うのが良さそうです。つまり、プログラムを書いて、条件に合う組み合わせを力ずくで探す。最初にお書きのご希望に比べて（(2)を除いては）かなり制約がきついANo.2の条件でも、解がみつかるのですから、「パソコンが何日も計算を続けたあげく、解がないことを発見してしまった」なんてことには滅多にならないでしょう。

回答No.4

Knotopolog

＃３です．補足します．

補足：「アミダくじ」を２回実施して，その組み合わせが「春」「夏」「秋」「冬」

の２つの班でひと組の組み合わせになります．次の３回目，４回目の「アミダくじ」が

その次の「春」「夏」「秋」「冬」の組み合わせになります．

回答No.3

Knotopolog

「アミダくじ」の方法を使えば良いのではないでしょうか．

方法：

（１）　紙に，「１班」「２班」「３班」「４班」と横並びに書く．

（２）　この下に，「春」「夏」「秋」「冬」と横並びに書く．

（３）　「１班」と「春」．「２班」と「夏」．「３班」と「秋」．「４班」と「冬」をタテの線で結ぶ．

（４）　タテの線が４本できるので，タテの線の間（三カ所）を，それぞれ，２～３本のヨコ線で結ぶ．

（５）　「１班」から「４班」について，「アミダくじ」を行って１回目の組み合わせをつくる．

ここからが肝心です．２回目の組み合わせをつくるには，「三カ所」のタテの線の間に，それぞれ，「２本ずつのヨコ線」を入れる（必ず，２本ずつのヨコ線を三カ所にいれる）．

そして，２回目の「アミダくじ」を行えば，２回目の組み合わせが完成します．

以下，これを繰り返して，３回目，４回目の組み合わせを作れるはずです．

お礼

目からウロコです。
たしかに「公平」ということでは公平かもしれません。
ただ、すみません、当事者が納得してくれませんでした。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

ANo.1は撤回です。

> ある班は夏を担当する率が高く、ある班は冬を担当する率が高い、ということがないようにしなければなりません。

という部分を見落としていました。「春・夏・秋・冬のそれぞれに」「負担を公平に」ってそういう意味だったんですね。どうも、すいませんね。

　そういうことですと、
(2) 同じ班が２期続けて当番になることは避けたい
と言っても、避けられない。もしも「同じ班が２期続けて当番にならない」という条件が絶対なら、ANo.1の答しかないので、春秋当番と夏冬当番が固定されてしまいます。

　そこで、
(1)　24期の間、１班から４班を２つずつ組み合わせて当番させる。
(2)「２期続けて当番になる」回数をなるべく少なくする。
(3) どの班も、春夏秋冬のどれについても、当番になる回数は3回ずつ。
(4)「２期続けて当番になる」「２期続けて非番になる」ということが、どちらもなるべく公平に起こる。

と条件を変えましょう。あらゆる組み合わせを考えると大変そうだから、とりあえず

(5) どの班も、各年度に丁度2回当番になる。
(6) どの班も、3期続けて当番になったり、3期続けて非番になったりしない。
(7) 年度を跨いで「２期続けて当番になる」「２期続けて非番になる」ということはない。

という条件も追加して考えます。(5)(6)(7)は(1)～(4)よりも制約を強くすることによって、考えるべき組み合わせを減らす。（これでもし解がないようなら、追加した条件を緩めようという訳です。）

　「班を２つずつ組み合わせ」たものを( , )で表し、一つの年度の春から冬までの当番を並べて、例えば
(1,2)(3,4)(1,2)(3,4)
のように表します。
　春秋当番と夏冬当番が固定されないためには、どうしてもどれかの班が2期続けて当番をやる必要がある。逆に言えば、どれかの班が2期続けて非番になるということです。(3)と(4)の条件があるから、各組について少なくとも１回、春秋当番と夏冬当番の入れ替えをやらなくてはいけません。従って「２期続けて当番になる」ことが生じる総数は4以下にはならない。
　そこでまず、「ある年度の中で1班が2期続けて非番になる」という場合を考えます。すると、a,b,c,dはいずれも1班以外だとして、a≠3班であって、
(1,2)(3,a)(b,c)(1,d)
ということなる。1班以外の3つの班でa≠3班,b,c,dを埋めなくちゃなりませんので、
(A) (1,2)(3,2)(3,4)(1,4)
(B) (1,2)(3,4)(2,3)(1,4)
この二通りしかありません。どっちも冬当番は(1,4)で、(7)の条件から翌春の当番は(2,3)ですから、1班と3班の「春秋当番と夏冬当番の入れ替え」をしたことになる訳です。さて、(A)では2期続けて当番になるのが2班,3班,4班の３つあるのに対して、(B)では3班だけ。そこで条件(2)に鑑みて(B)を「基本パターン」として利用しましょう。記号で
(B) (a,b)(c,d)(b,c)(a,d)
と表しておきます。

　基本パターン(B)を使えば、ある年の春当番のうち一方を、翌年の春当番から外すことができますんで、

1年目 (1,2)(3,4)(1,2)(3,4) <== ANo.1のやりかた
2年目 (1,2)(3,4)(2,3)(1,4) <== 基本パターン(B)
3年目 (2,3)(1,4)(3,4)(1,2) <== 基本パターン(B)
4年目 (3,4)(1,2)(3,4)(1,2) <== ANo.1のやりかた
5年目 (3,4)(1,2)(1,4)(2,3) <== 基本パターン(B)
6年目 (1,4)(2,3)(1,2)(3,4) <== 基本パターン(B)

とすれば、これでめでたく
(1) 24期の間、１班から４班を２つずつ組み合わせて当番させる。
(2)「２期続けて当番になる」回数は、全部で4回だけ。
(3) どの班も、春夏秋冬のどれについても、当番になる回数は3回ずつ。
(4)「２期続けて当番になる」「２期続けて非番になる」ということは、どの班もそれぞれ1回ずつ。
(5) どの班も、各年度に丁度2回当番になる。
(6) どの班も、3期続けて当番になったり、3期続けて非番になったりしない。

お礼

たびたびお骨折りありがとうございます。
なるほど、数学的にはこうなるわけですか。
私はまあこれでいいような気もするのですが、当事者から、「なぜ１班と３班の組み合わせがないのか」と突っ込まれました。
なんと答えたら良いものでしょうか。

回答No.1

stomachman

春と秋の当番は1班と2班、夏と冬の当番は3班と4班

ということにすれば、
(1)１班から４班、４つの班を、２つずつ組み合わせて、春・夏・秋・冬のそれぞれに当番をさせたい
(2) 同じ班が２期続けて当番になることは避けたい
(3) 負担を４班公平に
を全て満たします。

お礼

回答ありがとうございます。
ちょっと説明が不足していたようです。当番で担当するのは「外での軽作業」(ただし高齢者が多い) なのです。
ご回答の方法では、１班と２班は「ほどほどに気候の良いときだけ」、３班と４班は、「暑いさかりと寒いさかり」に作業をすることになり、公平ではなくなってしまいます。

なので、各班とも公平に春夏秋冬を担当する、としたいわけです。