x^x=zの解き方

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0
のなかで、x^x=z(zは定数)の解は、ランベルトのＷ関数を使って、
x=ln(z)/W(ln(z))
あるいは
x=exp(W(ln(z)))
となると書いてあるのですが、どうしてこんな式になるのですか?
そこには途中式や説明が一切書いておらず、自分でもいろいろ試してみたんですが、どうしてもx=…の形に辿りつけませんでした。

回答No.2

Akira_Oji · ベストアンサー

第一回答者の方は頭脳明晰すぎて凡人の私には分りづらい。同じことかも知れませんが。

ｚ＝ｘ＾ｘ
ｌｎｚ＝ｘ（ｌｎｘ）＝（ｌｎｘ）ｘ　　　－－－（１）

ここでｘ＝ｅ＾（ｌｎｘ）として
ｌｎｚ＝（ｌｎｘ）｛ｅ＾（ｌｎｘ）｝　　－－－（２）

これは定義と見比べて
ｌｎｘ＝Ｗ（ｌｎｚ）　　　－－－（３）

よって、ｘについて解けば、一方の表現
ｘ＝ｅ＾Ｗ（ｌｎｚ）　　　－－－（４）

他方の表現は（３）で（１）を使って
ｌｎｘ＝ｌｎｚ／ｘ　　　－－－（１’）

ｌｎｚ／ｘ＝Ｗ（ｌｎｚ）　　　－－－（５）

（５）をｘについて解けば、他方の表現が得られます。
ｘ＝（ｌｎｚ）／Ｗ（ｌｎｚ）　　　－－－（６）

お礼

判りやすい回答ありがとうございます。
質問するまで解けそうで解けなかったので、これで解決しました。

回答No.1

info22

定義に従って計算すれば出てきます。

ヒント）
z=x^xから
ln(z)=x*ln(x)={ln(x)}e^ln(x)…(1)
y=W(y)e^W(y)から
ln(z)=W(ln(z))e^W(ln(z))…(2)

(1)と(2)から簡単に
x=ln(z)/W(ln(z))とx=exp(W(ln(z)))
が導出できます。

後は質問者さんのやる気次第です。

お礼

あ、やっと判りました。
そこまでは思いつきませんでした…
ありがとうございます。