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面積の計算での疑問

2009/04/03 17:05

数学の問題5/16 実数aに対して、関数f(x),g(x)をf(x)=-(a+1)x-1, g(x)=2x+a/3とし、m(a)=∫［0→1］f(x)g(x)dxとする。 (1)m(a)＞0を満たすaの値の範囲を求めよ。この問題で、解答ではf(x)g(x)を求めた後、積分区間0≦x≦1で積分をしてm(a)=-a^2/6-7a/6-5/3＞0とし-5＜a＜-2という答えを求めていますが、この求め方に疑問があります。 f(x)g(x)=-2(a+1)x^2-(a^2/3+a/3+2)x-a/3となるわけですが、f(x)g(x)のグラフの詳細はよくわかりませんよね。なぜなら未知数aがありますから。ここで、aの値によってグラフが変化してくるわけですよね。例えばf(x)g(x)=0が異なる2つの実数解を持つとします。0＜x＜1の範囲に解を持ち、その値をβとし、もう一方の解はαとします。ここでa＞-1でα＜βのときm(a)=∫[0→β]f(x)g(x)dx-∫[β→1]f(x)g(x)dxとなりますよね？ほかにも場合分けをしてm(a)を求める必要があるわけですが、解答ではあたかも0＜x＜1の範囲にf(x)g(x)=0は解を持たないという前提でこの問題を解いていませんか？ x軸より下にf(x)g(x)が来る場合、f(x)g(x)ではなく-f(x)g(x)として計算するのですから、∫[0→1]f(x)g(x)dxとしてはおかしくないでしょうか。なぜ、∫[0→1]f(x)g(x)dx=m(a)として計算できるのかを教えていただきたいです。よろしくお願い致します。