z＝x^3+8y^3+3xy の極値

質問

z＝x^3+8y^3+3xy の極値を求めたいです。
極値なしとなってしまったのですが、大学の編入問題なのでそれは無いのだと思います。
どうかお願いします。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

実関数でよいのですね。
∂z/∂x=3x^2+3y...(1) ∂z/∂y=24y^2+3x...(2)
∂^2z/∂x^2=6x...(3) ∂^2z/∂y^2=48y...(4)
∂^2z/∂x∂y=∂^2z/∂y∂x=3...(5)
極値だから(1)=(2)=0が必要条件です。
(1)より
y=-x^2...(6)
(6)を(2)=0へ代入すると
8x^4+x=0
即ち
x(x+1/2)(x^2-(1/2)x+1/4)=0...(7)
xが実数ならば
x=0またはx=-1/2...(8)
(8)を(6)に代入して
x=0のときy=0, x=-1/2の時y=-1/4
を得ます。ところで(0,0), (-1/2,-1/4)が極値かどうかはこれらの値を(x0,y0)としたときΔx=x-x0, Δy=y-y0などと置いて（１次の微分はゼロになっていることを考慮して）
f(x,y)-f(x0,y0)=(1/2){fxx(x0,y0)Δx^2+2fxy(x0,y0)ΔxΔy+fyy(x0,y0)Δy^2}+0ρ^2...(9)
ρ=√(Δx^2+Δy^2)
となります。ρが十分に小さければ右辺の符合をきめるのは{}の中味の部分の２次形式です。判別式をDとすれば問題になるのは
D=fxy(x0,y0)^2-fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)
です。(0,0)の場合は
fxy(0,0)=3, fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0
でD>0ですが。
f(x,y)-f(x0,y0)=(1/2){3fxy(0,0)ΔxΔy}+0ρ^2
で正負が定まりません。
(-1/2,-1/4)の場合は
fxy(-1/2,-1/4)=3, fxx(-1/2,-1/4)=-3, fyy(-1/2,-1/4)=-12
D=9-(-3)*(-12)=9-36=-27<0
この場合fxx,fyy<0ですので、値が常に負ですからf(x0,y0)は極大になる筈ですが...