複素数

質問

私が計算するとどんどん複雑になってわかりません。
というか、答えがでないです。

☆ｘ＝１＋√３iのとき、x＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3の値

☆x＝2＋√3i,y=2-√3iのき、x＾3＋y＾3の値

私はまず、代入してから計算したのですが、複雑になってしまいました。
4乗の因数分解はよくわからないし。
教えてください

回答No.8

guowu-x

こういう問題は、次数部分と虚数部分に分けて2乗すればいいのですよ。
(1) x=1+√3i , x-1=√3i 両辺2乗して，x^2-2x+1=-3,x^2-2x+4=0,
x^2-2x+4=0 で x＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3を割ると
商がx^2+2x-2,余りが-7x+5なので
x＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3=(x^2-2x+4)(x^2+2x-2)-7x+5
ここで、x^2-2x+4=0 なので，x＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3=-7x+5
後は、x=1+√3iを-7x+5 に代入してx＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3=-2+7√3i
(2) x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
x+y=4,xy=7,x^2とy^2 くらいは直接計算しましょう。
x^2=1+4√3i,y^2=1-4√3i となります。
よって、x^2-xy+y^2=1+4√3i+7+1-4√3i=9
故に， x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=4*9=36
ひょっとすると計算間違いはあるかもしれないけど，やり方は大丈夫なので、この種の問題はこれで全部解けます。

回答No.7

wolv

＞ガウス平面って知ってますか？
＞
＞複素数ｚが,実数a,b,虚数単位iを使って
＞z = a + bi
＞とあらわせるとき、
＞
＞普通にｘ軸、ｙ軸のグラフを書いて、
＞(x,y)=(a,b)のところが、
　「ガウス平面上で」ｚをあらわす点です。

上のように、「ガウス平面上で」を追加しときます＾＾；

複素数を上のように図示して、ｘ軸となす角(単位はラジアン)をθ、原点とｚをあらわす点との距離を r とすると、
a = r cos(θ)
b = r sin(θ)
となります。

さて、複素数の掛け算が角度の足し算になることを示してみます。
A = a (cos α +i sin α)
B = b (cos β +i sin β)
とおくと
A×B = a (cos α +i sin α)×b (cos β +i sin β )
= a b (cos α +i sin α)(cos β +i sin β)
= a b {(cos α cos β - sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β)}
= a b { cos(α+β) + i sin(α+β)}
となります。
つまり、大きさ ab, 角度(α+β)であらわされる複素数になってますね。

さて、もとの問題にもどって、
２番目の問題は、ｘが＋30度の方向、ｙが-30度の方向になるのが、わかるので、x^3は、+90度方向、y^3は、-90度方向になります。x^3の大きさ、y^3の大きさは同じなので、結局、x^3+y^3=0になります。

さて、答えは簡単にわかるのですが、解答として記述しにくいですね＾＾；

回答No.6

majoruma

申し訳ない！
ご指摘どおり
no3の訂正です。
Ｘ＾２＝２（１＋√３i）-4
ということで　ｘ＾２＝２x－４
　　　　　　　x＾２＝２（x－２）と置けるのですね！
これで乗数を減らしていくと。
x＾4－2ｘ＾2＋5x－3＝４(X－2)＾２－４(X－2)＋５X－３
　　　　　　　　　　＝４X＾２－１６X＋１６－４X＋８＋５X－３
　　　　　　　　　　＝８（X－２）－１５X＋２１
　　　　　　　　　　＝－７X＋５
　　　　　　　　　　＝－14（１＋√３i)＋ ５

っていうかんじでしょうか？
またまた計算違いしちゃってるかなぁ。。

回答No.5

wolv

ガウス平面って知ってますか？

複素数ｚが,実数a,b,虚数単位iを使って
z = a + bi
とあらわせるとき、

普通にｘ軸、ｙ軸のグラフを書いて、
(x,y)=(a,b)のところが、ｚをあらわす点です。

質問のx (=１＋√3 i）は、原点とｘをあらわす点を結んだ方向は、ｘ軸（実数軸）と60度の角度になります。60度、これ重要。

複素数の掛け算は、大きさの掛け算と、角度の足し算であらわすことができるので、６０度だと、簡単な計算でｘ＾４の値がわかります。

上のｘの場合、原点からの距離が2^4 (=16)、 方向がx軸から反時計まわりに240度（ｘとちょうど反対の方向）にある点がx^4をあらわす点になります。
えーと、x^4 = -16(1＋√3 i）= -16 - 16√3 i　であることが、簡単な図と、ほぼ暗算で求まります。

つづく

回答No.4

Largo_sp

x=1+√3i=2(1/2+i√3/2)=2(cos60°+isin60°)で、

x^2=2^2(cos^260°-sin^260°+i2sin60°cos60°)=4(cos120°+isin120°)
=4(-1/2+√3/2)...ですよ..
x^3=-8i
x^4=16(cos (60*4)°+isin(60*4°))=-16x...
(1+√3i)^2=1-3+2i√3=-2+2√3i...で、 x^2=2xにはなりません...

回答No.3

majoruma

ＮＯ２の者です。
続いて☆ｘ＝１＋√３iのとき、x＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3の値を。

ｘ＾２を計算すると、ｘ＾２＝１－２√３i－３
　　　　　　　　　　　　　＝－２－２√３i
　　　　　　　　　　　　　＝－２（１＋√３i）
ということで、ｘ＝１＋√３iなので、
　　　　　　　ｘ＾２＝－２ｘとおけるみたいですね！
せっかくなのでコレを利用しましょう！
x＾4＋－2ｘ＾2＋5x－3＝（－２ｘ)＾２－２（－２ｘ）＋５x－３
　　　　　　　　　　　＝４ｘ＾２＋４ｘ＋５ｘ－３
　　　　　　　　　　　＝４（－2ｘ）＋４ｘ＋５ｘ－３
　　　　　　　　　　　＝－８ｘ＋４ｘ＋５ｘ－３
　　　　　　　　　　　＝ｘ－３
　　　　　　　　　　　＝－２＋√3i
となって、二乗の計算はいらなくなっちゃいますよね！
計算違いしているかもしれないので、もう一度自分で計算してみたください。
がんばってくださいね！

回答No.2

majoruma

とりあえず
☆x＝2＋√3i,y=2-√3iのとき、x＾3＋y＾3の値
を。

せっかく ＋√3i　-√3i　なんですから
オレならｘとｙを足して、複素数消しちゃいたいです。
最初にｘ＋ｙ＝４をつくってみます。
次に(ｘ＋ｙ)＾３にしたら、ｘ＾３とｙ＾３がでてくるよなぁって考えます。
（ｘ＋ｙ）＾３＝ｘ＾３＋３ｘ＾２ｙ＋３ｘｙ＾２＋ｙ＾３になりますよね。
求めるのはｘ＾３＋ｙ＾３の値なので、
ｘ＾３＋ｙ＾３＝（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘ＾２ｙ－３ｘｙ＾２
　　　　　　　＝（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）
　　ここで(ｘ＋ｙ)＝４を代入して　　　　
　　　　　　　＝（４）＾３－３ｘｙ（４）

とすれば、複素数同士の掛け算は一回ですむので
計算間違いもあまりなくてすむし、こういうとき方が好きですね。

回答No.1

Largo_sp

１つ目は　1+√3i=2(1/2+i√3/2)と変形すると簡単ですよ...

２つ目は、x,yは、　x^2+4x+7=0の2つの解ですね...解と係数の関係を使いましょう