光速が真空の誘電率の磁気定数で表されるのはなぜですか？

質問

電磁気学の本でよく出てくるのですが、光速が

c = 1/√(ε_0*μ)

ε_0：真空の誘電率、μ：磁気定数

の式で表されるのはなぜなのでしょうか？
導出法を探してみたのですが、見つけることが出来ませんでした。
どなたか教えて頂けないでしょうか？

回答No.4

jamf0421 · ベストアンサー

>ε0μ0(∂2E/∂t^2)-ΔE=0と
>とε0μ0(∂2H/∂t^2)-ΔH=0
>の式からc = 1/√(ε_0*μ)がどうやって導出されるのかが分かり
>ません。
一般的に数学では
v^2ΔF-∂^2F/∂t=0...(1)
を波動方程式と言い、vを波の位相速度と呼びます。（Δ=∇^2です。)まず1/√(ε0μ0)がその位相速度に対応していることはよいですね。
さて、これから先は適当な説明ですみませんが、
F(x,t)=Asin(ωt-αx)...(2)
などが一番易しい波ですね。この場合空間が1次元なので(1)のΔFはFxx(xで偏微分２回）になります。Fttをtでの偏微分２回とします。
Ftt=-Aω^2sin(αx-ωt)...(3)
Fxx=-Aα^2sin(αx-ωt)...(4)
になりますから
(ω/α)^2Fxx-Ftt=0...(5)
で丁度(1)の形になりますね。これで(1)と比べると
v^2=(ω/α)^2...(6)
に対応します。ここでω=2πf, α=2π/Lとおけば、fが波動の振動数、Lが波の波長に対応しますね。そしてω/α=fLですが、これは波の振動数に波長をかけたものですから波の速度にあたりますね。
かなり単純化した誤魔化しかも知れませんが納得いただけたでしょうか？ご参考までにURLを貼っておきました。

参考URL：

http://www.rcnp.osaka-u.ac.jp/~hosaka/lecture/gendai_butsuri/waves.pdf

回答No.3

Tacosan

1次元の偏微分方程式
ε0μ0×∂^2E/∂t^2 = ∂^2E/∂x^2
は
E = f(t ± √(ε0μ0)x)
を解に持ちます. この E は速度 v = 1/√(ε0μ0) を持つ波動と解釈できます.
3次元でも基本的には同じ.

回答No.2

jamf0421

Maxwellの方程式を習われましたか？真空中で
rotE=-∂B/∂t=-μ0∂H/∂t
rotH=∂D/∂t=ε0∂E/∂t
となり、下の式をtで微分して上の式をいれると
ε0μ0(∂^2E/∂t^2)+rotrotE=0
となります。ここでrotrotE=grad(divE)-ΔEで、真空中でdivE=0ですから
ε0μ0(∂2E/∂t^2)-ΔE=0
となります。Hについても
ε0μ0(∂2H/∂t^2)-ΔH=0
となり、これは波動を表す式です。これで電磁波なるものが導出されました。速度は1/√(ε0μ0)です。具体的に数値を入れると光の速度になったのでMaxwellは光は電磁波だと悟ったそうです。これで説明になっているかどうかとは思いますが...

お礼

ありがとうございます。

wikipediaも見てましたが、
ε0μ0(∂2E/∂t^2)-ΔE=0と
とε0μ0(∂2H/∂t^2)-ΔH=0
の式からc = 1/√(ε_0*μ)がどうやって導出されるのかが分かりません。
よろしくお願い致します。

回答No.1

ymmasayan

マクスウエルの電磁方程式↓から電磁波の速度が求まります。
当然光も含まれます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%81%AE%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F