分散性媒質における速度と屈折率の式

質問

電磁気学を用いて，分散性媒質中の光の解析を行っているのですが，
媒質が分散性を持つ場合の電磁波の位相速度と屈折率の式をどの
ように表現すれば良いのかわかりません．

媒質の比誘電率は，電磁波の角周波数（ω）が無限大のときの比誘電
率ε0と誘電感受率χ（χ(∞)=0)を用いて，
　　εr(ω) = ε0(ω) + χ(ω)
と表現できると仮定しています．

この場合も屈折率を
　n(ω) = √(εr(ω)μr(ω))
と表現し，速度を
　 v = c/n = c/√(εr(ω)μr(ω)) ( c = nv )
で計算してもよいのでしょうか．（cは真空中の光速）
また，波数kは，
　 k^2 = ω^2 μ ε
で計算してもよいのでしょうか．

ご教授お願い致します．

回答No.1

walkingdic · ベストアンサー

>媒質の比誘電率は，電磁波の角周波数（ω）が無限大のときの比誘電
>率ε0と誘電感受率χ（χ(∞)=0)を用いて，
>　　εr(ω) = ε0(ω) + χ(ω)
>と表現できると仮定しています．
ちょっと変です。
比誘電率を使うのであれば、

εr(ω) = 1 + χ(ω)

とするか、
εr(ω) = 1 + χ(ω)/ε0(ω)

にすべきです。
（χ(ω)にε0(ω)を含むか含まないかで式が異なる）

そうでなければ、比誘電率ではなく、誘電率ε（ω）を使い、

ε(ω) = ε0(ω) + χ(ω)

としなければならないでしょう。なお、こちらも、定義の違いで、

ε(ω) = ε0(ω)（１ + χ(ω)）

とするやり方もあります。
比誘電率は上記誘電率を真空中の誘電率で割った値です。

>この場合も屈折率を
>　n(ω) = √(εr(ω)μr(ω))
これはそのままでよいです。

>v = c/n = c/√(εr(ω)μr(ω)) ( c = nv )

で計算してもよいのでしょうか．（cは真空中の光速）

はい。ただし、気をつけて欲しいのは、吸収がある場合にはεrは複素数となります。
あと、一般的には透磁率は真空中の透磁率に置き換える、つまり比透磁率は１で計算してしまいます。

>また，波数kは，
>　 k^2 = ω^2 μ ε
>で計算してもよいのでしょうか．

そうですね。それで構いません。この式では「比」ではない誘電率、透磁率で合っています

お礼

明解なご回答有難うございます．
○屈折率，位相速度，波数の計算では，分散性を考慮しない場合と同様の式で計算できることが分かりました．
○御指摘の通りで比誘電率の定義に問題がありました．
　電磁波の角周波数（ω）が無限大のときの比誘電率ε∞をε0と書いてしまったため，
変なことになりました．電磁波の角周波数（ω）が無限大のときの比誘電率をε∞とし，真空の誘電率をε0とすると，質問での式を，
　εr(ω) = ε∞ + χ(ω)　or εr(ω) = ε∞ + χ(ω)/ε0
と修正し，
　εr(∞) = ε∞ + χ(∞) = ε∞ or εr(∞) = ε∞ + χ(∞)/ε0 = ε∞
を満たすように，誘電感受率χ(ω)を定式化しなければいけませんでした．

○連投で質問をし，申し訳ありません．
誘電率が複素数の場合に，実験で誘電率を計測したとします．
この場合，実験で計測された値は，複素数の実部に当たるのでしょうか，それとも
複素数の絶対値に当たるのでしょうか．
　またフレネルの反射係数は，入射波の電界が入射面に垂直なとき(TE波)，
R = {μ2k1cos(Θi)-μ1k2cos(Θt)}/{μ2k1cos(Θr)+μ1k2cos(Θt)}
(添字1:媒質1 添字2:媒質2 添字i,t,rはそれぞれ入射，透過，反射を示す．)
と表されますが，分散性媒質の場合，k^2 = ω^2 μ εを代入すると，Rは複素数になると思います．
シミュレーションで反射係数Er/Eiを求めて，フレネルの反射係数と比較する場合は，複素数の
絶対値と比較すればよいのでしょうか．

ご回答いただければ幸いです．

補足

明解なご回答有難うございます．
○屈折率，位相速度，波数の計算では，分散性を考慮しない場合と同様の式で計算できることが分かりました．
○御指摘の通りで比誘電率の定義に問題がありました．
　電磁波の角周波数（ω）が無限大のときの比誘電率ε∞をε0と書いてしまったため，
変なことになりました．電磁波の角周波数（ω）が無限大のときの比誘電率をε∞とし，真空の誘電率をε0とすると，質問での式を，
　εr(ω) = ε∞ + χ(ω)　or εr(ω) = ε∞ + χ(ω)/ε0
と修正し，
　εr(∞) = ε∞ + χ(∞) = ε∞ or εr(∞) = ε∞ + χ(∞)/ε0 = ε∞
を満たすように，誘電感受率χ(ω)を定式化しなければいけませんでした．

○連投で質問をし，申し訳ありません．
誘電率が複素数の場合に，実験で誘電率を計測したとします．
この場合，実験で計測された値は，複素数の実部に当たるのでしょうか，それとも
複素数の絶対値に当たるのでしょうか．
　またフレネルの反射係数は，入射波の電界が入射面に垂直なとき(TE波)，
R = {μ2k1cos(Θi)-μ1k2cos(Θt)}/{μ2k1cos(Θr)+μ1k2cos(Θt)}
(添字1:媒質1 添字2:媒質2 添字i,t,rはそれぞれ入射，透過，反射を示す．)
と表されますが，分散性媒質の場合，k^2 = ω^2 μ εを代入すると，Rは複素数になると思います．
シミュレーションで反射係数Er/Eiを求めて，フレネルの反射係数と比較する場合は，複素数の
絶対値と比較すればよいのでしょうか．

ご回答いただければ幸いです．

回答No.2

noname#56787

屈折率 m=n_1 + n_2 i (実部n_1, 虚部 n_2)とします。

Born and Wolf "光学の原理" 7版 (原書だと42ページ)にて

R|| = A|| * {n_2 * cos(θ_i) - n_1 * cos(θ_t) }
/ {n_2 * cos(θ_i) + n_1 * cos(θ_t) } --- (21)

A : 入射電磁波の電界の振幅
|| : 入射面に平行な成分

-----

屈折率が複素数である場合、
(例: m=1.33+0.01i; n_1=1.33, n_2=0.01 )

(21)式は
R|| = A|| * {0.01 * cos(θ_i) - 1.33 * cos(θ_t) }
/ {0.01 * cos(θ_i) + 0.01 * cos(θ_t) } --- (21)

というように、実部と虚部のそれそれの値をいれて、
結局R||は実数になるのではないでしょうか。

----
間違っていたらすみません。あと、式はきちんとした文献で
確認したものを使ってください。上記は記載ミスがあるかも
しれませんので。

お礼

投稿した質問のタイトルが分散性媒質における速度と屈折率の式
ですので，以後このスレットを見た人が分かり易いように，フレ
ネルの式に関することや複素数と現象との関係に関しては別スレ
ットに書こうと思います．

皆様，ご回答有難うございました．
御迷惑をお掛けします．

補足

ご回答ありがとうございます．
(21)式についてですが，
R|| = A|| * {n_2 * cos(θ_i) - n_1 * cos(θ_t) }
/ {n_2 * cos(θ_i) + n_1 * cos(θ_t) } --- (21)
ではなく，
R|| = A|| * {n_2 * cos(θ_i) - n_1 * cos(θ_r) }
/ {n_2 * cos(θ_i) + n_1 * cos(θ_r) } --- (21)
かもしれません．また，n_1及びn_2の定義は複素屈折率
の実数部と虚数部ではなく，媒質（入射側）の屈折率と
媒質（屈折後）の屈折率ではないでしょうか．

間違っていたら申し訳ありません．