テイラーの定理の範囲の問題

質問

高3です。

テイラーの定理の範囲の復習をしているのですが、配られたプリントを何枚かなくしてしまい、途中がよくわかりません。空いているページの直後のページの最初には次のように書かれているのですが、これがなぜ成り立つのかを解説していただきたいです。

log(4/3)
= log{1+(1/3)}
= 1/3 - {(1/3)^2}/2 - {(1/3)^3}/3 - {(1/3)^4}/4 + {(1/3)^5}/5 + E1
= A1 + E1

ここで

E1 = -∫[0→1/3][{t^5/(1+t)}dt]
|E1| < 1/4 * 10^(-3)

である。

調べてみたのですが、教科書には載ってない範囲のようでどうにもいかない状況です。友人に連絡をとろうとしたのですが、どうも年末で忙しいようで連絡がとれません。

上記の式の意味がわかった方いましたら、どのようにして成り立つのかなどを解説していただければうれしいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

Wikipedia に, 剰余項を積分で表現したテイラーの定理がありますね.