英文を読んで、その数学的内容を述べるのですが・・・

質問

英文を読んで、その数学的内容を述べなくてわいけないのですが、その訳にあまり自信がないので、チェックしていただきたいのでが・・・。
INVERSECSION
Convention
We use the term inversion to mean either reflection in a line or inversion in a circle.
The following gives a geometric method for constructing inverse points with respect to a given circle.
Let a be a point outside a circle S with centre c and rather r, let a∨p and a∨q be the two tangents from a to S, and let a’ be the point of intersection of c∨a and p∨q. Then a and a’ are inverse with respect to S.
For, in the triangles △cpa’ and △cap, the angles at c are equal and the two angles ∠ca’p ∠cpa are equal, since they are both right angles; hence all the angles in the two triangles are equal. Thus the triangles are similar; hence, in particular, we must have that ｜→ca’｜/｜→cp｜=｜→cp｜/｜→ca｜, so that ｜→ca｜・｜→ca’｜=｜→cp｜^2=r^2.
Thus a and a’ are inverse with respect to S, as claimed.
We end this subsection by showing that an invention in circle is a difficult type of transformation from those that arise in Euclidean and affine geometry.
First, an inversion in a circle is not an affine transformation since it does not map lines to lines. For example, let S be the unit circle and L be the line with equation Re(z)=2. All the points on L lie outside the unit circle and so invention in S must map all the points of L to points that lie inside the unit circle. In particular, the image of L cannot be a line. Thus, since the image of a line under any affine transformation is itself a line, it follows that inversion cannot be an affine transformation.
An inversion in a circle is not a Euclidean transformation either, for like affine transformation, Euclidean transformation map lines to lines. Indeed, a Euclidean transformation is just a special type of affine transformation.
→反転　決まり事
我々は、直線上の鏡影、または円上の反転を意味するために、反転を使う。
以下は、与えられた円に注意して逆元を作図する幾何学的な方法論を与える。
中心c、半径rの円Sの外の点をa、aからSへの2本の折線をa∨p、a∨qとする。さらに、c∨a、p∨qの交点をa’とする。その時、aとa’はSの逆元である。
△cpa’、△capについて、角cは等しく、∠ca’pと∠cpaは直角なので等しい。すなわち、2つの三角形のすべての角は等しい。従って、2つの三角形は相似である。特に、｜→ca｜・｜→ca’｜=｜→cp｜^2=r^2となるような、｜→ca’｜/｜→cp｜=｜→cp｜/｜→ca｜がある。従って、Sはaとa’の逆元である。
最後に、ユークリッド空間とアフィン空間の時の円の反転が特殊な場合を提示して、この節を終わる。
まず、円の反転は、線への写像でないので、アフィン変換ではない。
例）S：円、L：直線Re(z)=2とする。
L上のすべての点が円の外にあり、Sの反転は円の中にある点のLのすべての点の写像である。特に、Lの写像は直線でない。従って、どのアフィン変換においても、線の写像はその線自身なので、アフィン変換において反転は存在しない。
　円の反転は、アフィン変換でも、線へ写したユークリッド変換でも、ユークリッド変換にならない。実際に、ユークリッド変換は、アフィン変換の特別な時に限る。

以上です。長いですが、回答よろしくお願いします。

回答No.1

taichi_82 · ベストアンサー

こんばんは

とてもうまく訳されていますね。
私自身がこの文章の数学的な意味をいま一つ理解していませんので、適切なチェックになっていない箇所があるかも知れませんが、微修正させていただいた結果を示します。

→反転　決まり事
我々は、直線上の鏡影、もしくは円上の反転のいずれかの意味で反転という用語を用いる。
以下は、与えられた円に対して逆元を作図する幾何学的な方法論を与える。
中心c、半径rの円Sの外側の点をa、aからSへの2本の接線をa∨p、a∨qとする。また、c∨aとp∨qの交点をa’とする。その時、aとa’はSに関して逆元である。
三角形△cpa’及び△capにおいて、角cは等しく、2つの角∠ca’pと∠cpaはどちらも直角であるため等しい。すなわち、2つの三角形の3つの角はすべて等しい。従って、2つの三角形は相似である。従って、特に、｜→ca｜・｜→ca’｜=｜→cp｜^2=r^2となるような、｜→ca’｜/｜→cp｜=｜→cp｜/｜→ca｜がある。
従って、既に述べたようにSに関して、aとa’は逆元である。

最後に、円における反転（gsb57529さんが訳されたように「円の反転」が正しいのかも知れません。そこは数学的な意味でご判断ください）が、ユークリッド空間やアフィン空間で起こるものとは異なる（難しい？英文は"difficult"となっています）型の変換であることを示してこの節を終わる。

※このあたりがgsb57529さんの訳と多少異なっています。

まず、円における反転は、直線を直線に変換するものではないため、アフィン変換ではない。
例）S：単位円、L：直線Re(z)=2とする。
L上のすべての点が単位円の外側にあり、従って、Sにおける反転は、L上のすべての点を単位円の内側にある点に写す。特に、Lの写像は直線ではあり得ない。
従って、いかなるアフィン変換においても、線の写像はそれ自身が線であるため、反転はアフィン変換ではあり得ないことになる。
円における反転は、ユークリッド変換でもない。何故ならば、アフィン変換と同様に、ユークリッド変換は線を線に写す。
実際に、ユークリッド変換は、アフィン変換の特別な型に他ならない。

いかがでしょうか？
数学的な意味合いがおかしくなっていなければ良いのですが。

お礼

回答ありがとうございました。
ちなみに、「円における反転」にしました☆・・たぶんそれが合っているみたいなので・・。
「難しい」と「異なる」は、いろいろ調べた結果、「」を採用させていただきました！
いろいろ修正していただいたおかげで、頭の中も整理されて大変勉強になりました。
また、「とてもうまく訳されていますね」とのお言葉、素直に大変うれしかったです。
ありがとうございました。

補足

難しいと異なるのところを入れ忘れました！汗
改めて・・「異なる」を採用させていただきました！
・・あくまで今のところですが。。。