電気回路の問題

質問

以下の問題がわかりません。お教え願います。
図の回路の両端に一定電圧｜Ｅ｜を加えたとき、ωＬ＝１/２ωＣの条件が成立すれば、抵抗Ｒを加減してもＬを流れる電流の大きさは変化しないことを示せ。です。。。
この問題は残念ながら全くわかりません。
１）この問題の意図・意味は何ですか？
２）ωＬ＝１/２ωＣは共振のことを言ってるのですか。
お教え下さい。

回答No.6

ruto · ベストアンサー

この回路の共振周波数は合成インピーダンスZの虚教部分を０として解くと
ｆ＝1/2π・｛（C・R^2－1）/（L・C^2・R^2）｝^0.5
となります。
　なお、ベクトル回路について説明すると、RC回路でR=0～∞のベクトル軌跡は中心が（0、XC/2)で半径がXC/2の半円になります。
これに＋ｊXL＝ｊXC/2を加えると円の中心が原点に移動する。即ち、Zは半円の半径に等しくなり、Rの如何によらず、Zが一定になる、即ち電流値が一定になる。
　ベクトル軌跡を勉強するとよく出てくる問題です。
但しXL＝ωL、XC＝1/ωCです。

回答No.5

anachrockt

ゴメンね，計算間違えちゃった．
ANo.3の方が正しいです．
ωL=1/(2ωC)のときに，
|I|=|E|/(ωL)=2ωC|E|
です．
１）この問題の意図・意味は，特定の周波数で抵抗変えても電源から供給する電流が変わらないとゆう面白いことがあることを，学生に示すことでしょう．
２）ωL=1/(2ωC)は共振ではないです．共振は下に書いたように，ω^2=1/(LC)のときで抵抗変えても抵抗に流れる電流が変わらない「定電流回路」になっています．

回答No.4

ruto

>１）この問題の意図・意味は何ですか？
この手の問題はベクトル軌跡や逆図形を理解しないと、難しいです。
一般的には合成インピーダンスZを求めます。
　Z＝ｊXL＋（R・XC^2－ｊXC^2・R）／（R^2＋XC^2）
　＝R・XC^2／（R^2＋XC^2）＋ｊ｛XL－R^2・XC/（R^2＋XC^2）}
｜Z|　＝｛実数部分^2＋虚数部分^2｝^0.5　
　を求めめると
　　＝｛R^2/（R^2＋XC^2）・（XC^2－2・XL・XC）＋XL^2｝^0.5
　上式で　XC^2－2XL・XC＝0とすればRに関係なくなり、
　これよりXL＝XC/2にすればRに関係なく電流の絶対値は一定になる。

ベクトル的に云うとZは原点を中心に半径XC/2の右半分の半円を描き、これが合成インピーダンスの軌跡になる。R=0の時はXL、∴Z＝XC/2、R=∞のときZ＝XL－XC＝－XC/2になる。
　R＝0～∞に変化させると（0,-XC/2）のポイントから反時計方向に（0、XC/2)のポイントに移動する。共振時は（XC/2、0）の点になる。
　要は電流の絶対値が一定ですが、電流の位相は-90度から＋90度に変化する。

回答No.3

foobar

（パタパタっと計算してみましたが、条件は ωL=1/(2ωC)であっているように思います。）

1.E=一定でLを流れる電流(=回路の全電流)が一定、ということは、回路を両側端子からみたインピーダンスの絶対値がRに関わらず一定になる、ということです。（一定なのは絶対値だけで電流の位相（インピーダンスを極座標表示したときの角度）は変化する。インピーダンスの大きさは一定に保ったまま、角度だけを変えることができる、ということになります。）

2.ωL=1/(2ωC)は、1.の状況なるための条件で、それ以上の意味は無いかと思います。

回答No.2

anachrockt

条件が違ってるんじゃないでしょうか？
> 図の回路の両端に一定電圧｜Ｅ｜を加えたとき、ωＬ＝１/２ωＣの条件が成立
> すれば、抵抗Ｒを加減してもＬを流れる電流の大きさは変化しないことを示せ。
計算してみればわかるように，そうはなりませんよ．
多分こうじゃないでしょうか？
「図の回路の両端に一定電圧|E|を加えたとき、ωL=1/(ωC)の条件が成立すれば、
抵抗Rを加減してもRを流れる電流の大きさは変化しないことを示せ。」
そのときの抵抗Rに流れる電流Iは
|I|=|E|/(ωL)=ωC|E|
となります．
１）この問題の意図・意味は共振（角）周波数ωでは，電流が抵抗値によらない「定電流回路」になるとゆうことです．
２）ωL=1/(ωC)，書き直せばω^2=1/(LC)ですから，共振（角）周波数です．

回答No.1

foobar

1. 意味はそのままで、Lを流れる電流（ということは全電流）の絶対値がRに無関係（式中にRが現れない）ことを示せ、ということでしょう。
2. 共振ではなくて、周波数の条件（あるいは、L,Cのリアクタンスの条件）を示しているかと思います。

補足

ご回答「ありがとうございます。
２の周波数の条件はあまり意味のないものなのでしょうか？
数学的な問題で、ただ単に筆者が適当に条件を決められた。ωＬ＝１/２ωを代入して、答えの中にＲがあるか、ないかを見極めるだけのことですか。
それとも、ωＬ＝１/２ωは物理的に意味があるのですか。
前者と後者どちらなのか再びお願いします。