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解くために使う式の選択
問題を解く最中に、「引き算を使えば解ける！」と思ったら、 解けなかった問題があります。 問 ある仕事を仕上げるのに、Ａ～Ｃ３人が共同で行うと４日かかり、 Ａだけで行うと８日かかり、Ｂだけで行うと１２日かかる。いま、 Ｃだけでこの仕事を行うとすると、要する日数はどれだけか。た だし、Ａ～Ｃのそれぞれが行う１日の仕事量は一定である。 テキストの解説では、４・８・１２の最小公倍数を使って求める 解き方が掲載されていました。で、僕の解き方なのですが、 Ａの１日あたりの仕事量→１／８ Ｂの１日あたりの仕事量→１／１２ Ｃの１日あたりの仕事量→不明 １／８＋１／１２＋不明＝１ ３／２４＋２／２４＋不明＝１ ２４／２４－（３／２４＋２／２４）＝不明 ところが、この式ででた答えは１９／２４で、これ以上割り切る ことができないため、この解き方は間違っていると気付きました。 おそらく引き算を使ったのが間違えたポイントのようですが…？ １）この場合、どうすることが正しい方法なのですか。 ２）それを見極めるヒントは何ですか。ちなみに、僕はＡとＢが わかっていてＣだけが不明であることが、引き算を使うべきヒン トと感じました。 いつも書いていることですが、「この問題はこの式を使えば解ける！」と見極めがつけば問題が解けるのですが、そんな簡単には 判別がつかないのです。算数が得意な人は、なぜそんなパッパと、 「こうすればいい」「これはダメ」と見極めがつくのですか。 宜しくお願いします。
- 数学・算数
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- tsuyoshi2004
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- htms42
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＃７です。 ＞（１／８＋１／１２＋不明）×４＝１ という式になりましたが、 私はこれで良いと思います。 １／８＋１／１２＋不明＝１／４ という式でなければいけないということはありません。 私の発想もあなたと同じです。 （１日の仕事量)×(日数）＝仕事の全体 （１） という方が私には発想しやすいのです。 問題文において分かっているのは日数と仕事の全体です。 これにある仮定を置いて（１）が出てきます。それは「１日にする仕事量は一定である」というものです。その仮定があって初めて「１日の仕事量」を求めることが出来るのです。 （１日の仕事量）＝（仕事の全体)／(日数） （２） これは１日の仕事量を決める式です。もし１日あたりの仕事の量が一定でなければ（２）で決まる量は平均の仕事量です。（「１日当たり」という表現は「平均」を意味している場合が多いですね。） よく似た例では （速さ）×（時間）＝距離 （３） があります。 直接分かるのは距離と時間です。同じ時間内にたくさんの距離を進めば「速い」と表現するのです。運動会では皆この表現を使っています。「速さ」が分からなくても「速い」という表現を使うことは可能なのです。どの程度速いかを表す目安として「速さ」を距離と時間の比率で表します。 速さ＝（距離)／(時間） （４） 運動全体に対しての目安として考えた量ですからこれは平均の速さです。（４）を考えれば（３）は当然のこととして成り立ちます。 私は運動の問題ではいつも（３）で考えています。結局どれだけ移動したのかというので考えるというのが私には素直なんです。 （１）、（２）のどちらでもかまいません。 どちらにしろ、方程式を立てるときにはどちらかの式が発想されていなければだめなんです。文字で表した関係ではなくて言葉で表した関係です。その関係に合わせて分かっている量、不明な量を組み合わせていく事になります。初めに（１）か（２）かがきちんと押さえられていたらこのコーナーに質問を出す必要も生じなかっただろうと思います。 数学の問題を解く時に逆算の発想というのが大事です。方程式の考え方は逆算なのです。こういう条件を満たすためにはどういう値でなければいけないかということで未知の量を決めていくのです。分からないものをさしあたり分かっているものとして先に進めていくと最後に一番明確な（と思える）式にたどり着くのです。 あなたが使われた （１／８＋１／１２＋不明）×４＝１ という式も方程式です。Ｃの１日の仕事量が分からないのでさしあたり（不明）という量で置いてみてどういう関係を満たすかまで行ってみよう、その関係式がわかれば逆に戻ってきて（不明）を決めてみよう、ということです。逆算なんです。そのとき使った関係式が（１）です。それを変形した（２）でも同じことです。（不明）という量を考えたところがポイントなんです。 逆算をやるためには式の変形が出来るだけではダメです。量の関係がわかっていなければいけません。起こっていることが言葉で表現できるになっていなければダメなんです。 「方程式を解きなさい」という問題と「方程式を立てて解きなさい」という問題との違いです。方程式を解くことが出来ても立てることが出来ないという高校生が多いです。
お礼
＞初めに（１）か（２）かがきちんと押さえられていたらこのコーナーに質問を出す必要も生じなかっただろうと思います。 そうなんですか～（@_@;）。習ったことがあるものですが、実際の問題に当てはめながら実行するのは難しいですね。ありがとうございました。
- Ishiwara
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＃６です。 （１／８＋１／１２＋不明）×４＝１ も、立派なアプローチだと思います。しかし、 （１／８＋１／１２＋不明）＝１／４---(1) のほうが、はるかに優れています。 数学では「アナロジー（類比または類推）」というものが、とても重要です。１日にＡが１０個、Ｂが２０個、Ｃが３０個作れる場合、全員で協力すれば６０個ですよね。つまり １０＋２０＋３０＝６０---(2) です。ところで、(1)は「方程式」、(2)は「計算式」ですが、言っていることは同じです。(2)は誰にでも分かります。(1)は、(2)のアナロジーとして存在するするから、簡単に納得できるのです。 このように、「アナロジー」とは「一見異なるように見えるものの中に共通しているものを見つけること」と言えましょう。「算数の得意な人はなぜ見極めが速い？」とのご質問ですが、こういう道具を使って見極める「訓練」をするからでしょうね。「理屈を飲み込めば、とたんに目が開けて訓練は要らなくなる」ということにはならないのです。
お礼
ありがとうございました!!
- htms42
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＃３のご解答に近いです。 答えが合わないと思ったとき、なぜ式の選び方が違っていると思ったのですか。まず自分の書いた式に間違いがないか吟味してみる方が先ではないでしょうか。ある式を使えばどういう考えでその式を作ったのかが説明できるようになっているはずです。 ・１日あたりの仕事量を求めています。 ・１日あたりの仕事量を足しています。 ＞１／８＋１／１２＋不明＝１ 左辺でＡ、Ｂ、Ｃの１日あたりの仕事量を足したのはどうしてですか。一緒に仕事をしたからですね。 であれば右辺はどうなりますか。 一緒に仕事をしたときの１日の仕事量になるはずですね。 ここでなぜ「１」に等しいと置いたのでしょうか。 「？」と思うはずです。 他人に説明するようなつもりで１つずつ意味を考えていけばおかしいところが見えてきます。 「１」ではなくて、「１／４」にしなければいけないというのを自分で見つけられるようにするというのが目指す方向です。他人におかしいと言われるまでおかしいところが分からないというのを自分で自分に「何でこんな式を書いたのか、おかしい！」と言えるようになる回路を作らなくてはいけません。 ひとまず解いてみて、一呼吸置いて、頭を覚まして、見直すのです。他の人が書いた答案を見るようなつもりで見て行くのです。他人の立場で説明を要求していくのです。おかしいところが浮かび上がってきます。計算違い、考え違い、単純ミスを見つけないといけないのです。 書いた式は言葉で説明してみてください。 式を読み上げてもだめです。 足したということは一緒に仕事をしたのだからだということが分かるような言葉で説明が必要なのです。 引き算というのは式を解くときの話です。 式を立てるときの足し算は一緒に仕事をしたということに対応しているのですから「足し算がだめなら引き算で」と考えること自体おかしなことです。 式の裏づけを考えるのではなくて式の選択で切り抜けようと考えているところが悲しいところです。せっかく途中まで行けてたものを丸々全部捨ててしまうような結果になってしまったのですから。 １９／２４という答えが「これ以上割り切れないからおかしい」というのは全く根拠がありません。 値が大きすぎるからおかしいのです。この値の仕事量であればＣ１人でやっても２日かかりません。３人でやって４日だということからおかしいと思ってほしいです。 Ａ１人で８日です。３人一緒にやって４日です。半分になりました。 Ａと同じ能力の人がもう一人いててＡと二人でやったとすると４日になるのですからＢとＣの２人合わせてやっとＡと同じ内容の仕事しか出来ていないのです。Ｃの１日あたりの仕事の量は１／８よりも小さいはずです。 Ｃが分からないのであればさしあたりＡとＢだけで一緒にやったとすると何日でできるかというのをまず探りの意味でやってみるというのも１つの方法です。 考え方の確認が出来ます。答えの目安を立てることが出来ます。 １／８＋１／１２＝５／２４＝１／４．８です。４日以上、５日弱です。かなり４日に近くなっています。この少しの差をＣの仕事で埋めることが出来たらいいのですからＢの仕事の量よりも小さいだろうという予測が可能になります。 ここまで来ていたら１／４．８を１／４にすればいいというのも見えてくるでしょう。 いきなり最終結果が出せなくても手探りで埋めていくことが出来ます。 １／８＋１／１２＋（Ｃの仕事）＝１／４ です。
お礼
ありがとうございます。 今回、色々なコメントを頂き、引き算を使ったこと自体は間違っ ていなかったということに、とても驚いています。引き算を使っ たことが原因だとばかり思っていたからです（だから、式の選択 というタイトルを使いました）。 皆様のコメントを読み、もう一度問題に挑戦したところ、 （１／８＋１／１２＋不明）×４＝１ という式になりましたが、 いかがでしょうか？？
- Ishiwara
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＃４さんの意見と同じです。「どの公式を使おうか」という発想は、数学の学習にとって有害です。公式をそのまま使って解ける問題は、ほとんどありません。一番効果的な学習法は、良い模範答案を見て「解答者がなぜそのように考えたのか」という筋道を納得することです。先輩の投球フォームを何度も真似することによって、いつしか自分も速球が投げられるようになります。 > Ａの１日あたりの仕事量→１／８ > Ｂの１日あたりの仕事量→１／１２ > Ｃの１日あたりの仕事量→不明 ここまでは合っていますが、 １／８＋１／１２＋不明＝１ が間違っています。３人で力をあわせると１日に１/４できるのですから、 １／８＋１／１２＋不明＝１／４ となります。ここから「引き算」ですよね。 ここで「不明」は「Ｃが１日にできる量」ですから、「何日でできる？」という問いに対しては、最後に「逆数」で答えることも忘れずに。 「最小公倍数」という概念は、計算をラクにするだけであって、問題の本質には何も関係ないことに注意しましょう。この語を知らない人が、４×８×１２を計算してしまっても正解は出ます。 なお「答が整数でないから正解でない」という判断も危険です。割り切れない問題が出ることもあり得ます。
お礼
ありがとうございます。 ”３人で力をあわせると１日に１/４できるのですから、 １／８＋１／１２＋不明＝１／４” 算数が得意な人は、そうやって「ＡだからＢ」「ＣだからＤではない」と見極めがつくようですが、僕はその見極めがつかないので、 なぜそうだとわかるのか？がとても知りたかったんです（＞＜;） なぜ「１日に１/４できるのだから、式は＝１／４」という風にわかるのですか。自分ではそんな深いところまでとても考えられません…。
- tsuyoshi2004
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全体の仕事量をＸとすると、Ａ，Ｂ，Ｃのそれぞれの一日の仕事量をＡ，Ｂ，Ｃとすると Ｘ＝４（Ａ＋Ｂ＋Ｃ） Ｘ＝８Ａ・・・・Ａ＝１／８Ｘ Ｘ＝１２Ｂ・・・・Ｂ＝１／１２Ｘ これを代入すると Ｘ＝４（１／８Ｘ＋１／１２Ｘ＋Ｃ） Ｘ＝１／２Ｘ＋１／３Ｘ＋４Ｃ （１－１／２－１／３）Ｘ＝４Ｃ １／６Ｘ＝４Ｃ Ｘ＝２４Ｃ 従って、答えは２４日です。 と私なら解きます。 従って、最小公倍数などという一切先入観は持ちません。（もちろん、分数の通分という意味では最小公倍数を使いましたが・・・） 出題に従って式を立てて計算をするだけです。
お礼
ありがとうございます。 ＞出題に従って式を立てて計算をするだけです。 しかし、実際には式を立ててもその式があっていないことがほとんど なのです。よって、どうやって見極めればよいかが知りたかったのです。
- piro19820122
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そんなに難しく考える必要はありません。 ＞ Ａの１日あたりの仕事量→１／８ ＞ Ｂの１日あたりの仕事量→１／１２ なかには文章題の題意を読み解けない人もいますから、問題の設定からこれが分かるのなら、まだ大丈夫。 「どんな式を使うか」という考え方が、算数を難しくさせているように思います。算数から数学に発展すると「公式」と呼ばれ式がたくさん登場します。苦手な人は問題を見たときに「どの公式に当てはめるか」を真っ先に考えるようです。 得意な人は「この条件からまず何が分かるか」を考えます。そして分かったことから次に何が分かるかを考えます。うまく言葉で表現できませんが、ともかく「どんな式を使うか」と考えずに、「何が分かるか」を考えるようにしてみてください。当然、結果的には答えにたどり着く上で不要なものが出てくることもありますが、とりあえず分かることは全部書き出す、というのが基本です。 さて本題に戻ると、ともかくＡとＢの１日の仕事量が分かったわけです。 では４日間でＡとＢはそれぞれどれだけの仕事をしたか、は単純な掛け算ですね。 するとＡとＢがこなした仕事以外がＣが４日間で行った仕事になります。 それを４で割ると、Ｃが１日でできる仕事が分かります。あとはあなたならきっと分かるはず… 解説にあったという「最小公倍数を使う方法」は私には思いつきませんが、必ずしも解答通りに答える必要はありません。要は自分で答えを求める道筋が分かることが重要なのです。
お礼
＞とりあえず分かることは全部書き出す そうなんですか～。ありがとうございました。
- arrysthmia
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算数がそれほど得意でなくても、正解を見つける人は、 自分がナゼその計算をしたのかを他人に説明することができる のだと思います。 今回の場合、「１／８＋１／１２＋不明＝１」を立式した理由を 説明できますか？ ナゼ、その式が成り立つと思ったのか。 考えに根拠を持つことが大切。算数に限った話ではありませんよ。 それから、 ＞ これ以上割り切ることができないため、 ＞ この解き方は間違っていると気付きました。 も、同様の妄想ですね。 ナゼ、割り切れないと間違いだと思ったのか。理由が必要です。
お礼
ありがとうございます。 ＞「１／８＋１／１２＋不明＝１」を立式した理由を 皆様にいただいたアドバイスを基に考えたところ、 （１／８＋１／１２＋不明）×４＝１ となりました。 理由としては、Ａ、Ｂ、Ｃ、それぞれの１日あたりの仕事量を 足し（＝３人で力をあわせる）、それぞ４日続けると（×４）、 やっと仕事が完成する（＝１）、という風に考えました。計算 すると、 （３／２４＋２／２４＋不明）×４＝１ １２／２４＋８／２４＋４不明＝１ ２０／２４＋４不明＝１ ４不明＝１－２０／２４ ４不明＝４／２４ ４不明＝１／６ 不明＝１／２４ となりましたが、あっていますでしょうか？？
- owata-www
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とりあえず、質問者の方の解き方は合ってます 途中までは １／８＋１／１２＋不明＝１→1/4 三人でやると四日で終わるため一日あたりの仕事量は1/4 これで、きれいに出ます。 ＞算数が得意な人は、なぜそんなパッパと、 「こうすればいい」「これはダメ」と見極めがつくのですか。 自分は算数が得意かは知りませんが、とりあえずある程度パターンを覚えているのはあると思います。
お礼
＞とりあえずある程度パターンを覚えている やっぱり、色々な問題を解いて経験を積み、慣れていくのが ベストですよね。ありがとうございました。
- KTR5718F
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> Ａの１日あたりの仕事量→１／８ > Ｂの１日あたりの仕事量→１／１２ > Ｃの１日あたりの仕事量→不明 ここまではいい． > １／８＋１／１２＋不明＝１ これが違う． あくまで各人の1日当たりの仕事量の合計を出すので，合計は「3人でやる場合の1日の仕事量」になる． 1/8 + 1/12 + 不明 = 1/4 となる． あとはこの「不明」を求めてください．
お礼
ありがとうございます。 今回頂いたヒントを基に、もう一度考えてみたところ、今回は こういう式になりました。 （ １／８＋１／１２＋不明）×４＝１ ３人で力をあわせると、４日かかる、というあたりからこうして みましたは、この式の立て方はあっていますでしょうか？？
お礼
＞私はまずは問題から導き出される方程式だけを書き出しました。 おぉ（@_@;）。 じっくり復習したいと思います。ありがとうございました!!