ε-δ法について

質問

ε-δ法が全然わかりません・・・
もうテストがそこに迫ってきてます＾＾；
なにかε-δ法について、わかりやすく解説してあるページを知っている方がいれば、教えて欲しいです。

回答No.1

springside · ベストアンサー

『任意の正数εに対して、ある自然数δが存在し、ｎ＞δならば｜Ａｎ－Ａ｜＜εとなるとき数列｛Ａｎ｝はＡに収束するという。』というのを例にとります。

これは、「数列｛Ａｎ｝を巡るＤ君とＥ君の戦い」と考えるとわかりやすいです。「戦い」とはこういう意味です。
・まず、Ｅ君が適当にεを指定して（ε＝１でも１０でも１００でも０．０００１でもいい。仮にｅ１としましょう。）、Ｄ君に対して、「自分が指定したε＝ｅ１に対して、『ｎ＞δならば｜Ａｎ－Ａ｜＜ε』となるようなδを見つけられるか？」と挑みます。
・Ｄ君が、「わかった。δ＝ｍ１として、ｎ＞ｍ１ならＯＫだ。」と言えたとします。
・Ｅ君が、「では、ｅ１はやめて、ε＝ｅ２の場合ならどうか？」と再挑戦します。
・Ｄ君が、「大丈夫。δ＝ｍ２として、ｎ＞ｍ２ならＯＫだ。」と言えたとします。

といったやりとりを繰り返して、Ｅ君が、εとしてどんな数を指定しようとも（←「任意の正数εに対して」とはこのこと）、常にＤ君はδを見つけられて（←「ある自然数δが存在し」とはこのこと）、Ｄ君が勝つ（←「ｎ＞δならば｜Ａｎ－Ａ｜＜εとなる」とはこのこと）場合、「収束」です。このとき、「εがまずあって、δはεの値に依存して決まる」ことに注意してください（「任意の正数εに対して、ある自然数δが存在し」というのはそういう意味です）。
なお、Ｅ君としては、Ｄ君の選択の範囲を狭めたいので、εとしてできるだけ小さな数を指定するのがいいですね。

具体例を挙げます。Ａｎ＝（ｎ＋１）／ｎとして、１に収束することを示します。
・Ｅ君が、「ε＝０．１として、『ｎ＞δならば｜（ｎ＋１）／ｎ－１｜＜ε＝０．１』となるようなδを見つけられるか？」と挑みます。
・Ｄ君は、「わかった。ｎ＞１０ならＯＫだ。」と言えます。
・Ｅ君は、「では、０．１はやめて、ε＝０．０１の場合ならどうか？」と再挑戦します。
・Ｄ君は、「大丈夫。ｎ＞１００ならＯＫだ」と言えます。
・Ｅ君は、「では、０．０１はやめて、ε＝０．０００００１の場合ならどうか？」としつこく挑戦します。
・Ｄ君は、「平気、平気。ｎ＞１００００００ならＯＫだ。」と言えます。

このようにして、Ｅ君が、εとしてどんな数を言ってこようとも、Ｄ君は、δとして１／εを言えば勝てますから、１に収束すると言えるわけです。

以前こういう感じの解釈（ストーリー）が書いてある本を読んだことがあって、「なるほど」と思いましたのでご紹介しました。

お礼

なんかたくさんありがとうございました＾＾
おかげさまでなんとか感じはつかめましたよ＾＾ｖ
またよろしくおねがいします！

回答No.5

Dady-J

＃１さんのような具体的なものではなくて、ブルーバックス的な話ですが、こういう話も理解には役立つと思いましたので書込みします
数学屋さんの唯一の道具は「０」と自然数だと思います
この道具（おはじき）を使ってすべての数学（大袈裟かな？）を表現しているように感じます
例えば、有理数や実数、複素数やベクトル、テンソル・・・みんなおはじきを使って定義（代数拡大）しています
幾何学についても代数と表裏（？）の関係ですし・・・
おはじきが土台（唯一信用できるもの）なんです
（小学校では、まず自然数から始めますよね）
だから、「連続」についてもおはじきを使って説明するしかないようです
直接説明できないんだから「逃げ」てるわけです
それがε－δ論法ですね
つまり、「直接証明はできませんが、ある条件のもとでどんなものを持ってきても、それに対応できるものを即座に見せられますよ。だから私の言っていることは正しいんです」
という論法です
ε－δ論法を使っての証明の要は、δの具体的な存在を示すことです
＃１のところではδ＝１／εとするということで、それが証明できたわけです

お礼

おぉ、おはじきで説明できるなんて。。。
新鮮な情報と補足、ありがとうございました＾＾
なんか豆知識ですね（笑）

回答No.4

springside

＃１のspringsideです。
このＨＰでの解説は面白いかもしれません。
↓
http://student.phys.h.kyoto-u.ac.jp/users/takaoka/diary/2002_06.html

参考URL：

http://student.phys.h.kyoto-u.ac.jp/users/takaoka/diary/2002_06.html

お礼

これ面白いですね（笑）
わざわざありがとうございましたｍ(＿　＿)ｍペコリ

回答No.3

Mell-Lily

ε-δ論法のどこが分からないのでしょうか？ε-δ論法の意味が分からないのでしょうか？あるいは、ε-δ論法を用いた問題の解き方が分からないのでしょうか？もう少し詳しく述べて頂ければ、回答し易いです。

お礼

解き方も原理もわからなかったんです＞＜
でも原理はなんとか理解できたのですが、やはり解き方はいまいちピンとこないですね＾＾；
またの機会によろしくおねがいします＾＾

回答No.2

gaak1

最近出た本ですが、
「単位が取れる微積ノート」馬場敬之著 講談社刊 2400円
を最初からべた読みするだけで結構分かると思います。受験向けの予備校の参考書みたいでわかりやすいです。
テーラー展開・マクローリン展開、偏微分などについても載っていますので今年一年（学部1年生ですよね？）使えると思います。

ε‐δ論法で、1年でいきなり壁にぶつかりますよねー。何言ってんだって感じで私も苦しみました。この本があと10年前に出ていれば…（泣）。

お礼

この本を買うことにきめました（笑）
本屋で見たのですが、なかなかわかりやすい参考書ですね＾＾
情報ありがとうございました！