サイコロ

質問

サイコロを5000回振って『１』が714回出る確率を求めたいのですが、
計算式は5000C714*1/6^714*5/6^4286=
で良いでしょうか？

そしてこの値を求めるにはどうしたらよいでしょうか？
電卓やエクセルを使っても桁が大きすぎて値が出ません。

回答No.15

Mr_Holland

＃４／＃７／＃１１／＃１２です。
　丁寧なお礼をありがとうございます。

＞＃７で全部OKでした。
＞＃12はどうでしょう？値はでますか？

　もちろん、計算できます。（Ecxel 2003）
　質問者さんのエクセルでどうして計算できないのか、私には分かりません。何かの設定の違いなのかもしれません。
　（改めて、エクセルでの計算について質問を起こした方が良いかもしれません。）

＞…804回とは？
＞1/6のサイコロを5000回振った時、『１』の出る確率が、結果1/7以下になる確率は
＞5000÷714＝7.0028011
＞5000÷715＝6.9930069
＞ここが境界線ではないでしょか？

　もし５０００回振って、『１』が何回（７１４回でも１０００回でも）出てもその確率が同じならば単純に回数で割ればよいのですが、実際には回数によって確率は異なるので、単純な割り算は通用しません。
　例えば、話を簡単にするためサイコロを５回振って『１』がｎ回でる確率を考えますと、次のようになります。

　『１』が０回：　5_C_0 5^5/6^5　＝0.40188
　『１』が１回：　5_C_1 5^4/6^5　＝0.40188
　『１』が２回：　5_C_2 5^3/6^5　＝0.16075
　『１』が３回：　5_C_3 5^2/6^5　＝0.03215
　『１』が４回：　5_C_4 5^1/6^5　＝0.00322
　『１』が５回：　5_C_5 5^0/6^5　＝0.00013

　ご覧の通り、『１』が出る回数によって確率は異なるので、単純な割り算ができません。
　そのため、累積二項分布（例：０～７１４回までの確率の和）の計算結果から１／７以下になる回数を求める必要があります。

＃　なお、回答するに当たって他の回答者さんの内容が参考になっています。
　　他の回答者さんへお礼があまりないようですので、できましたらお礼を書いて下さいね。少し恐縮しています。

お礼

何度も何度もすみません。
そしてありがとうございます。

804…
わからない。

また眠れなくなりそうです。。

数学ではなく国語(文章の書き方)の問題なのかもしれません。
明日また別で質問を起こします。

数学記号のCも知らなかったような奴なので、
簡単そうに算数みたいに説明してくれたMr_Hollandさんの回答だけ目についてしまい、、
チョット難しい記号が入っているともう何もわからなくなってしまうので、答えてくれた人々気分悪くしたのならごめんなさい。

回答No.14

kabaokaba

No.10です．
やっぱりLisp系だと似た感じですね＞No.13さん

さて・・・すっかり忘れてましたが
一部で有名な（おとといの朝日の青Beにもでてた）
カシオの高精度計算サイトの
二項分布のページですぐ計算できます．
0回から714回までの累積確率は
2.14462566850278717 x 10^{-6}
714回の確率は
3.720202855235832 x 10^{-7}
1000回の確率は
7.6409765291696806 x 10^{-11}
3000回の確率は
4.69158369913862575 x 10^{-1034}
それぞれの計算時間は体感で一秒程度です．
上の計算，入力時間・表示含めて一分かかってないです．
＃すごいよ，カシオ・・API公開してほしいな

回答No.13

noname#76525

#8です。
今回の回答、文字数オーバーだと思ってたのだけど、#10さんのをみると、ちゃんと表示できるみたいですね。
ちなみに自分は以下でやりました。
(defun pow (n m &optional (result 1))
(if (<= m 0)
result
(pow n (1- m) (* n result))))
(defun fact (n)
(if (= n 0)
1
(* n (fact (1- n)))))
(defun comb (mm nn)
(/ (fact mm) (fact nn) (fact (- mm nn))))
(* (comb 5000 714) (pow 1/6 714) (pow 5/6 4286))

回答No.12

Mr_Holland

＃４／＃７／＃１１です。

　簡単な方法を忘れていました。
　エクセルには二項分布の関数がありますので、１発で計算できます。

　　5000C714*1/6^714*5/6^4286⇒　=BINOMDIST(714,5000,1/6,FALSE)
　　０～７１４回までの累積確率⇒　=BINOMDIST(714,5000,1/6,TRUE)

＞1000回の時、3000回の時の確率も計算したいです。
＞どなたか良い方法ありませんか？

　この方法を使えば、あっという間です。

お礼

みなさん本当にありがとうございます。

この関数を使うのが一番簡単そうだったので試してみたのですが
やはり桁が大きくなりすぎてエクセルだと計算できないのですが。
3000回の時を計算してみると191回までしか値が求められません。
なにかやり方を間違っているでしょうか？

これから他の皆さんの方法も試させていただきます。

回答No.11

kabaokaba

>; (iota 0 715)

まちがった(^^;
; (iota 715)
に修正

回答No.10

kabaokaba

No.5です．
>差し支えなければ教えていただきたいのですが。

やっつけプログラムで計算させたんですが
時間かかりすぎでした（笑）
ということで，Schemeの実装の一個のGaucheで計算させました．
計算時間そのものは数秒ですが・・答えは
当然とんでもなくなります．

一応リストを晒しておきます．
(use srfi-1)
(define (fact n)
(if (= n 0) 1
(* n (fact (- n 1)))))
(define (binary n r p)
(* (expt p r)
(expt (- 1 p) (- n r))
(/ (fact n) (fact r) (fact (- n r)))
)
)
;; 5000C714 (1/6)^714 (5/6)^4286
(print (exact->inexact (binary 5000 714 1/6))) ;; 近似値
(print (binary 5000 714 1/6)) ;;正確な値はこっち
;;714回以下の和はこれ．時間がかかる
;(print (fold + 0
; (map (lambda (x) (exact->inexact (binary 5000 x 1/6)))
; (iota 0 715)
;)))

現実問題としては714回以下の確率は
正規分布での近似とかを考慮すべきかと

>5000回振って『１』が714回出る確率
これは当たり前ですが，No.8さんと同じで
3.720202855235832 x 10^{-7}
です．誤差なしの値は
分子が
68234230261201878920019266136402226898753263389240959969095317245109082272440088
82237893020974156457460639995062001629798882640137510739955856048284769626513762
30322679138107506968299724095316092281625121757334718935602701704689021008791104
16262561864112550852420456503496200474869455470484427708909217843477263632329014
87840045098572386319795494608755423336984279024616178557967671407167474168798286
22103535519546772790062376884868673494393222282218991287564896330071239787090308
85903075813756707588379163664555674283427075278466620680938055754887544653545697
10368862930659760797105984384879050835809586330315467838406196567868815278390995
20168722022828169450765753446110061912163099652231975328679750765535677252842295
84762985902971394287604970296783258464455185005219242964649853583470561527768493
07172559215677175602315908442638699876562730307529453667365949714088063758846755
21938209158696904235033061614359883403725731881605066348080164690404502911472501
99465775186277128975839612974111958467697790258475158337616544593479233769124412
54313439033034567484371011770767778037720329208423662987820011307506209302894317
16406966157797081527456727839758694630472789228151906791162463578595402063760160
50573056256170749507413831725639796496767479663673263060820632425739857486132483
66913972896314328585115433801185469285519393301675281456855858469879487831401878
61499343288687517133657719225215877846712724793528489881530099264747499911931362
28739566933850526860649595914210716809461417450672618175137710224896371904307705
10478869744053478057468926661303628941311386201209706435030636121546501152544761
37222475370972939005274678215740982526736329435534998327674886146463697745461520
09115736247869184525017624867252655244438730369988160331530822222557322557802282
22545189440618887195663005102205880568804212868315118167454942283592882787960677
99138970167266541983747572031928278082379561087108001093185255133157603213228111
74551874725429024510534164290437901144195627369505423341053107456352730278204714
75171916695334413922742230363051782276180036450032986659366230138038009434833643
79196666718612445760871533669843642422644731783414369029203455782418318839659736
70464277897504804422285718805414056838109677721601149493640527558958772609182102
84653838580636769509678224907003950594751540941109570807505306632112802454990305
60428720556814894919342581940202339604025668795395174048158155317048186133236134
59569634070728621976684565197386958535747697083602064722726592789403043030205334
68855787008750363823352740464223844977721002487106554405179734304267001417003743
69768274972318512404312174883812533761363807916182632235009481089143227371839988
71860936664124587677433338664228970813863731322236865806701199074287987050421623
08129228001032752591351640476194847476274079818029309874461437772268031094623147
10745794479123089060415071951986046790549555721860277351950535008788942430893911
71685497866691728858103186059312432157566248156725363361128781924765952074534702
04095567998306549284198638127375481448861815906471417384150400129026567417364412
15388130341200468862510444984507458234836512236056782162393881314987190922775114
71774117876348243071809876894259712969641576077831965920629929311172721781262048
59483583724351162137476617349388056041726850481766280769870787379618399811963049
77347297443692232772734745065643641377538916313371570843400510719107278546040310
56661912399327163990113717931771304103252370739133147720921161383359465787538005
54496000867611076022362642991799891148981648599518229244638239890419357755738217
71117926501383950451027474316879647354300096588853600858482509704131190414155088
92989224852454880166630854104250679100231648668767642467113804437827333873427172
19617687908237068085472773625149911702865877909869169962279013326145079909834645
11365108451050247642424593816906080514864535057592064340745242952299592794046089
5999574830739220487885177135467529296875
分母が
183415348346310427170082907873044483389
27788403652464436013603090167690371022008206073132800412123475533740530013864431
50699201348689089398318817296567080085628130766564053772207936855097057338676865
39315925117586564079988426463162750620754020417852139764286848629578319318196433
90653118710890834878917532693918007736949037932690108677531247246445217618620933
77083309079006495846359993066201925474477092184388588211847835864755658180069189
34442573785303909629051909303114615361851725372382137668676374750793551931813772
54657283720025747577702415286436148733519762266362476022160314557989697057797288
37377634865579767022099162400535195772104454927003069055609460433504467283056163
49322642251836586536783514042428744481165285368077635134432257135699730948410954
82733192090142911950298856143412959831424203771990373387258748345662495493653573
25989063577987206990733686851252469604318272704597804448907578489185543105344206
60968455570617315724167991044241373041615816402475058108384182482529585713334188
82106318092078655919259545523389574111833323415045285317633097984002464132421799
17892291725651967757920158370361361425213078564315736374141322939027568514347694
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11524011055181982561012698868296456634705175220595934494195037877111203976466690
65084032166851516670840525682345326261279391798336780207084739757605499242337474
55867045893155334888927120377118395477064260355759891987428804937683452418505338
32493409236271807978752077715810484411663685799306682058898663317062871902299838
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91273521853309881524651082660711405128197890920403861034771136144442463738776557
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81517563678474499631391557525042623462535473445991840745906057391949599362247758
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66271419399879613021271239087167189148103029530311157701196847669141090425952935
77565529442322626232344436682569185248580407177156465641839033636627348969413466
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04909889763361860921899603985920613850490891746173503443451549598910337358633767
47167744

回答No.9

Mr_Holland

＃４／＃７です。続報です。
　フリーの数式処理ソフトwxMaximaを使って計算して見ました。
http://sourceforge.net/projects/wxmaxima
　スターリング近似を使ったエクセルでの計算結果と比べると上位４桁で有効なようです。
　１／７以下となる回数については変わらず、８０４回までのようです。

nusum(5000!/k!/(5000-k)!*5^(5000-k)/6^5000, k, 0, 714);
⇒　157342905624351031453441519976/73366139338524170868033163149200000
＝2.1446256685027871672684608452457e-6

nusum(5000!/k!/(5000-k)!*5^(5000-k)/6^5000, k, 0, 804);
⇒　722381457175761595259102888799/5282362032373740302498387746740
＝0.13675349261344442882404148206774　＜　１／７

nusum(5000!/k!/(5000-k)!*5^(5000-k)/6^5000, k, 0, 805);
⇒　767626744480031902246800605967/5282362032373740302498387746740
＝0.14531884406549899143812507508072　＞　１／７

お礼

あなたのおかげですっきりしました。
感謝の気持ちでいっぱいです。
＃７で全部OKでした。
＃12はどうでしょう？値はでますか？

＃９は自分理解できませんでした。
なんせCと言いう記号をおととい初めて知ったような数学オンチでして。。
…804回とは？
1/6のサイコロを5000回振った時、『１』の出る確率が、結果1/7以下になる確率は
5000÷714＝7.0028011
5000÷715＝6.9930069
ここが境界線ではないでしょか？
結果1/7以下になる確率
0.000214％
一億回に214回の割合
467290回に１回の割合。
5000回もサイコロを振れば結果1/7になるなんて普通ありえないって事。
自分なにか勘違いしているでしょうか？

回答No.8

noname#76525

こういう時に威力を発揮するのはXyzzyです。
桁数無制限で、分数計算もできるので誤差なしの結果がだせます。
CommonLispを覚えなければならないのが難点ですが。

結果は文字数オーバーでここには投稿できませんが、分子3880桁、分母3887桁の分数になります。
およそ3.720203×10^-7です。
これが10秒足らずの時間で計算できました。

参考URL：

http://xyzzy.s53.xrea.com/wiki/

回答No.7

Mr_Holland

＃４です。お礼をありがとうございます。

＞サイコロを5000回振るという行為をやった時『１』が714回になる確率は0.0000372％
＞１０億回に372回の割合、つまりサイコロを5000回振るという行為を約269万回すると１回くらいの割合ということで良いでしょか？

　そうだと思います。

＞とてつもなく手作業で計算するしかないという事でしょうか。。

　近似値で良ければ「スターリングの近似」を使ってエクセルで計算することができます。（5000_C_714の場合は有効数字３桁まで同じでした。）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%81%AE%E8%BF%91%E4%BC%BC

　この近似を使った場合、n_C_k (1/6)^k (5/6)^(n-k)の自然対数は次のようになると思います。

　　k ln(n/k-1)-n ln(1-k/n)+1/2 ln[n/{2πk(n-k)}]+n ln(5/6)-k ln(5)

　ここで求めた数値を指数関数expの引数にして求めれば、それがn_C_k (1/6)^k (5/6)^(n-k)　の近似値になります。
　あとは、ｋを０～７１４の間で振って、それらを足し合わせれば、『１』が７１４回以下出る確率を求めることができます。
　ちなみに、私がエクセルで計算したところ次のような結果になりました。

　　７１４回以下の確率：　2.14488E-06
　　８０４回以下の確率：　0.136768326
　　８０５回以下の確率：　0.145334592

＞サイコロを5000回振った時、『１』の出る確率が、結果1/7以下になる確率はアバウトどれくらいなのでしょうか？

　上記の計算結果から、『１』が８０４回以下出るとすれば、結果は１／７以下になると思います。

　参考までにエクセルに入力した式を以下に記しておきます。

　A1～A806セル：　すべて　5000　を入力
　B1～B806セル：　0から昇順に805まで入力
　C1セル：　　　　空欄
　C2セル：　　　　=B2*LN(A2/B2-1)-A2*LN(1-B2/A2)+1/2*LN(A2/(2*PI()*B2*(A2-B2)))+A2*LN(5/6)-B2*LN(5)
　C3～C806セル：　C2セルの式を以下コピー
　D1セル：　　　　=(5/6)^5000
　D2セル：　　　　=EXP(C2)
　D3～D806セル：　D2セルの式を以下コピー

　E1セル：　　　　=SUM(D1:D715)　　　　　　　　　　　←７１４回以下出る確率
　E2セル：　　　　=SUMIF(B1:B806,"<=804",D1:D806)　　←８０４回以下の確率
　E3セル：　　　　=SUMIF(B1:B806,"<=805",D1:D806)　　←８０５回以下の確率

お礼

非常にありがとうございます！！
まさにこれです自分が知りたかった計算式
完璧です

この計算式なら分母が６以外でも試行回数が65536回まで簡単に一覧できます。
本当にありがとう。

回答No.6

ltx78

値を概算できればよいのなら対数を使うのが良いでしょう．
正確な値を計算するにはかなり大変な計算が必要なのは，すでに指摘がなされている通りです．

5000C714 * (1/6)^714 * (5/6)^4286
の対数（底は10とします）を取ると，
log (5000C714) + 714 log (1/6) + 4286 log (5/6)
となります．
5000C714 = (5000 * ... * 4287) / (714 * ... * 1)
なので，
log (5000C714) = log 5000 + log 4999 + ... + log 4287 - log 714 - ... - log 1
です．

この値を（プログラムを書いて）計算すると，およそ -6.4294 となりました．
なので，求めたい確率は
10^(-6.4294) = 10^(0.5706) * 10^(-7)
です．これならばWindowsの関数電卓でも計算できますね．