０の０乗は１、にしたい（その３）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html
の続きです。

今回は、方針を変更して、次のことを示したいと思います。
lim[y→0]0^y≠0^0

0^0が値を持つと仮定して、その値をP=0^0と表します。
これを使うと、極限値は次のようになります。
lim[y→0]0^y
=lim[y→0]0^(0+y)
=lim[y→0]0^0*0^y
=lim[y→0]P*0^y
=P*lim[y→0]0^y
=P*0
=0

この結果を見て、P=0を主張される方がいますが、それは誤りではないかと感じました。
私の主張は、Pの値つまり0^0は、上記極限値とはまったく別に決めることができる、ということです。

この考えに、問題はあるでしょうか？

回答No.3

arrysthmia

←No.2 補足
？　話の脈絡が分かりません。

0^0 = 0 を主張する、あるひとつの論法を論破することは、
0^0 = 1 とする根拠にはなりません。

また、その論法を論破する経過で出てきた議論が
lim[x→0, y→0] x^y の収束性とは関係がないという事実は、
0^0 を定義する問題が
lim[x→0, y→0] x^y の収束性と関係ないという主張の
根拠にもなりません。

0^0 を未定義としたい者の主な理由は、
連続にさえならない定義域の拡大を行っても、
覚えておかなければならないこと、毎度注釈しなければならないこと
が増えるのみで全く魅力がない　ということですから、
lim[x→0, y→0] x^y が収束しないことは、
関係ないどころか、この問題の核心です。

お礼

＞0^0 = 0 を主張する、あるひとつの論法を論破することは、
＞0^0 = 1 とする根拠にはなりません。

それは理解できます。
ですから、その４では、一般的なlim[x→0, y→0] x^yの話をする予定です。
＃今回のことが、否定されなければ、ですけど。

＞lim[x→0, y→0] x^y が収束しないことは、
＞関係ないどころか、この問題の核心です。

lim[x→0, y→0] x^yの値と0^0の値が無関係なことは、今回と同様の方法で示そうと思います。
＃まだその説明は出来ていません。
＃原理は同じですので、今回のことが正しければ、その延長上で証明できるかな、と思っています。
その上で、x^0の極限値だけが、0^0を求める方法であるということになれば、0^0=1と証明できるかな、という意図を持っています。
＃でも、その話はいずれ…
＃今回は、0^yに話を絞ってもらえると嬉しいです。

ありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

落ち着いて、
方程式 P*0 = 0 の解は P = 0 ですか？

lim[x→0, y→0] x^y の収束性の問題とは全く別に
lim[y→0]0^y = 0 ではありますから、
もし「 0^0 という値が存在するならば 」、
(0^0)*0=0 は、その式から言えます。
しかし、この式が
0^0 の値について何らかの条件を表していますか？

お礼

＞方程式 P*0 = 0 の解は P = 0 ですか？

いいえ。Pの値をこの方程式から求めることはできません。
私は、P=0ではない、と言っているのですが…

＞0^0 の値について何らかの条件を表していますか？

lim[y→0]0^yが、0^0の値を求めるのに、不適当な方法であることを示すことが、この質問の主旨です。
lim[x→0, y→0] x^y の収束性の問題と0^0の値の決定は別問題だと思い、そう主張する予定です。

ありがとうございました。

回答No.1

neKo_deux

> lim[y→0]0^y
> =lim[y→0]0^(0+y)
> =lim[y→0]0^0*0^y
> =lim[y→0]P*0^y
> =P*lim[y→0]0^y　←ココ

上記の式のP*の右側の部分は１行目と同じですから、

=P*P*lim[y→0]0^y
=P*P*P*lim[y→0]0^y
=P*P*P*P*P*P*P*…

と展開され、結果1だか0だか不定になるとか。

お礼

私の主張は、以前からP=1ですから、問題はありません。
ただし、これが、１行目と同じになるから展開しなければならない、という話であれば、それはそうじゃないですよ。
展開は、人が必要に応じて行うものですから。

ありがとうございました。