定積分 曲線の長さ

質問

次の曲線の長さを求めよ
r=e^(aθ) 0≦θ≦2π
という問題です。

r´=ae^(aθ)
公式より
長さs=∫[0→2π]√{e^(2aθ)＋a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
＝e^(aθ)∫[0→2π]√(a^2+1)dθ
とやったんですが、答えの
{√(a^2+1)}(a^(2πa)-1)/a
になりません。どうやればいいでしょうか？

回答No.2

orcus0930

#1 最後の積分変数がミスです。
正しくは
(√a^2+1)∫e^(aθ)dθ です。

申し訳ない。

回答No.1

orcus0930

公式より
長さs=∫[0→2π]√{e^(2aθ)＋a^2e^(2aθ)}dθ
=∫[0→2π]√{e^(2aθ)(a^2+1)}dθ
＝e^(aθ)∫[0→2π]√(a^2+1)dθ　←ここが間違ってます。
θの関数を∫の外に出してしまってます。

正しくは
(√a^2+1)∫e^(aθ)dx です。

お礼

なるほど、気づきませんでした
ありがとうございます。