微小振動する角振動数

質問

はじめまして。
おそらく振り子の問題だと思うのですが、あまりよく理解できません。
簡単な問題かもしれませんが、ご回答お願い致します。

図のように、質量ｍ、長さ12Lの細い一様な棒が、棒の中心からｈの距離にある点Ｈを支点として微小振動した場合の角振動数ω(h)を求めよ。
ただし、点Ｈを通る軸周りの慣性モーメントは、
I(h)＝12mL^2＋mh^2　とする。

図を解説すると、棒を縦に立てて（少し傾いている）、棒の中心から棒に沿って距離ｈ上方を支点Hとしています。

教科書の似た問題を見ると、この問題と関係ないかもしれませんが、
回転の式　I・dω/dt＝-mghsinθ

となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。
微小振動ならsinθ≒０になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか？

慣性モーメントと回転の式などの正負の関係があまり理解できないので、この点に関しても、よろしければご回答お願いいたします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

>回転の式　I・dω/dt＝-mghsinθ
>となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。

ω＝dθ/dt はθが増える方向が正ですよね？　右辺のトルク
（力のモーメント）はθを増やすまいとする方向だからです。
通常θは反時計回りを正にとります（本当はθは回転方向を
ねじの回る方向としてねじの進む方向へのベクトルとして
扱うのが普通です）。一方トルクも反時計回りに回転させる
作用を正とします（トルクももちろん通常はθと同じ決め方を
したベクトルとして扱います）。今両者は逆向きですよね？
同じ向きだったらどんどん回転が速くなっていって，振動には
なりません。これは，もっと初歩的にはばね振り子の運動方程式
m dv/dt = -kx　と形式的に同じ形をしていますよね。

>微小振動ならsinθ≒０になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか？

ダメです。それでは運動することになりません。
sinθ=θ-θ^3/3!+・・・という無限級数からθの１次の項まで
とって近似します。すなわち，sinθ≒θと近似します。
そうすることで，ばね振り子と同じ形
m d^2x/dt^2 = -kx　←→　Id^2θ/dt^2 = -mghθ
になって初歩的に解くことができるようになるわけです。

お礼

素早いご回答ありがとうごうざいます。
涙が出るほど分かりやすかったです。

つまり、単振動と同じように考えてみますと、
I・d^2θ/dt^2＝－mghθ≡-kθ
T＝2π√(I/k)=2π√(I/mgh)
ω(h)＝√(mgh/I)

と、この解でよいということですよね。
非常に助かりました。ありがとうございます。