(a^n)/((s^2)(s+a)^n)の逆ラプラス変換

質問

皆さんよろしくお願いいたします。
複素数s、正の自然数n、実数a(ただしa=(n-1)/T,T:実数）で構成
される次の式の逆ラプラス変換を解こうとしています。

(a^n)/((s^2)(s+a)^n)

(a^n)/(s(s+a)^n)の場合は、ここで質問させて頂き、おかげさまで
解くことが出来ました。
（URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4204188.html参照）
同様の方法で解くことが出来るか試しましたが、うまくいきませんでした。
留数定理など、他の方法で解くことが出来るなど、解き方を
ご存知の方いらっしゃいましたらご教示いただきたくお願いいたします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>同様の方法で解くことが出来るか試しましたが、うまくいきませんでした。
ちゃんと同じ手順を踏んでいただけば出来ますよ。
部分分数展開は次のように出てきます。
F(s)=(a^n)/((s^2)(s+a)^n)
=(1/s^2)-{n/(as)}+Σ[k=1,n] (n-k+1)a^(k-2)/(s-a)^k
後は逆ラプラス変換は自力でやってみてください。

うまく出来なければ、やった計算式を補足に書いて、再度質問してください。

f(t)=t-(n/a)+{e^(-at){(n/a)+(n-1)t+(n-2)(a/2)t^2+ … }
=t-(n/a)+{e^(-at)}Σ[k=1,n] …
といった形の式になります。
まず自力でフォローしてやってみてください。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
F(s)=(a^n)/((s^2)(s+a)^n)=X_1/s+X_2/s^2＋X_3/(s+a)+X_4/(s+a)^2^2+・・・+X_(n+2)/(s+a)^n
についてn=1～5まで計算してみました。
結果、以下のようになりました。
n=1のときX_1=-1/a,X_2=1,x_3=-1/a
n=2のときX_1=-2/a,X_2=1,x_3=-2/a,X_4=1
n=3のときX_1=-3/a,X_2=1,x_3=-3/a,X_4=2,X_5=a
n=4のときX_1=-4/a,X_2=1,x_3=-4/a,X_4=3,X_5=2a,X_6=a^2
n=5のときX_1=-5/a,X_2=1,x_3=-5/a,X_4=4,X_5=3a,X_6=2a^2,X_7=a^3
ここでやっと、規則性に気づきました。（X_nの計算の間違いをしていたようです。）
おかげさまで、ご教示いただいた結果のとおり
F(s)=(1/s^2)-{n/(as)}+Σ[k=1,n] (n-k+1)a^(k-2)/(s+a)^k
となりました。
（重箱の隅をつつくようで申し訳ありませんが、ご回答の最後の分母の(s-a)^kは(s+a)^kだとおもいますがいかがでしょうか）
結果a=(n-1)/Tを代入すると
F(s)=(1/s^2)-{(nT)/((n-1)s)}+Σ[k=1,n] (n-k+1)((n-1)/T)^(k-2)/(s+(n-1)/T)^k
を得ることが出来ました。
これを逆ラプラス変換すると
f(t)=t-(n/a)+Σ[k=1,n](n-k+1){a^(k-2)}{t^(k-1)}{e^(-at)}/(k-1)!
　　=t-(nT)/(n-1)+Σ[k=1,n](n-k+1){((n-1)/T)^(k-2)}{t^(k-1)}{e^(-(n-1)t/T)}/(k-1)!
となりましたが、あっているでしょうか。
自信が無いので、恐縮ですが、正否をご指摘いただければ幸いです。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足質問の回答
>F(s)=(1/s^2)-{n/(as)}+Σ[k=1,n] (n-k+1)a^(k-2)/(s-a)^k
はご指摘の通り、入力ミスです。(s-a)の箇所は
>F(s)=(1/s^2)-{n/(as)}+Σ[k=1,n] (n-k+1)a^(k-2)/(s+a)^k
と訂正した頂いたとおりです。
これを逆変換すると
f(t)=t-(n/a)+e^(-at)Σ[k=1,n] (n-k+1) a^(k-2)t^(k-1)/(k-1)!

>f(t)=t-(nT)/(n-1)+
>Σ[k=1,n](n-k+1){((n-1)/T)^(k-2)}{t^(k-1)}{e^(-(n-1)t/T)}/(k-1)!
>となりましたが、あっているでしょうか。
合っているようですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
毎度お世話になります。
添削まで、お願いしていまい申し訳有りませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

(a^n)/(s(s+a)^n) の逆変換をtで積分すればいいです。