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音速と気体粒子の速度について
音速と気体粒子の速度について質問します。 音は空気の振動が伝わることだと習いました。 そして空気の振動を伝えるものは気体粒子ということも習いました。 高校の教科書にはバネと質点が連なっている絵があり、質点の振動がバネを介して隣の質点に伝わっていく様子が描かれています。 これはこれで理解できたのですが、実際の気体分子は無音の状態でも四方八方に飛び回っていますよね。先のバネと質点の例で言うと、質点がランダムに飛び回っていることになります。僕にはこのような状況で振動が隣の粒子に伝わる様子が想像できません。さらに疑問が増すのは、気体粒子の平均スピードが音速よりも速いということです。（調べたら０℃１気圧で窒素分子は約490m/s,酸素分子は約460m/s,音速は約330m/sでした。） 長々としましたが疑問は要するに、 「音速を超える速さで飛び回る気体粒子が、音速で音（振動）を伝える様子がわからない」 ということです。 説明しにくい内容だと思いますが、どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら教えてください。 よろしくお願いします。
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この問題は、良く分からんというのが、素直な反動だと思います。また、質問者さんがこの問題で混乱したのは、実は質問者さんには大変良い物理的なセンスがあることの証拠だとも言えます。何故ならこれから説明いしますように、この問題は物理学の未だに論争の耐えない問題、すなわち、不可逆性の問題、あるいは時間の対称性の破れの問題に直結した、奥深い問題に関係があるのです。 さて、その説明に絡んでいるのですが、＃１さんの説明は、部分的には的を射ている面もあるのですが、説明は相変わらず不完全だと思います。 単に疎密だけが音波の伝わる原因だとすると、気体を構成する粒子の間で互いに衝突をしない仮想的な気体（それを専門用語では理想気体と言います）の中でも音波が伝播出来ることになってしまいます。 ところが、理想気体の中を疎密波は伝播出来ません。実際、そのような理想的な気体のモデルでは、運動方程式を厳密に解くことが簡単に出来ます。そこでその解を使って、初期条件に密度の疎密部分を用意したときの疎密部分の時間変化を、簡単に計算することができます。その場合、理想気体の運動エネルギーが自由粒子の運動エネルギー、すなわち運動量の２乗として、非線形に依存していることが本質的になります。そして、この非線形性のお陰で、最初の疎密部分はダラっと均一化するだけで、音波として伝播する解は出て来ません。専門用語では、非線形効果によって位相混合（フェーズミキシング）が起こるだけです。 気体中の音波の出現をミクロなレベルから理解するには、ボルツマン方程式というミクロのレベルの方程式から理解しなければなりません。この方程式には衝突項といって、時間の符号をプラスからマイナスに入れ替えると、元には戻らない項が付いています。即ち、衝突項は時間の向きの反転に対して対称性を破っています。その項を表す衝突演算子の固有値問題の中に、流体力学的モードと言う物があり、その特殊な例が音波モードなのです。したがって、気体中での音波は、その運動方程式の中に時間の対称性を破る項があるために起こって来る現象なのです。 ところが、バネを伝わる音波は単に力学的な調和振動子的な運動として伝わるので、時間の対称性が破れること（すなわち、摩擦や拡散がおこること）は邪魔にこそなれ、その伝播の機構として本質的ではありません。もしバネや結晶が完全に出来ていれば、その中を減衰せずに音波が伝わることも原理的には可能です。 その反対に、空気中の音波は気体の分子間で衝突が起こり、その過程で時間の対称性が破れていること（すなわち不可逆性があること）が本質的な原因で起こる波です。したがって、減衰せずに伝わる音波は、気体中には原理的に存在しません。 ですから音波の伝播を、通常のバネでモデル化するのは、そのモデルで波としての一面を表現していると言う意味では宜しいのですが、それが起こって来る理由を理解するモデルとしては、危険なモデルだと思います。 この話は、非平衡統計力学の相当上級編の勉強をした方でないと、なかなか理解するのが難しいのですが、第一級の非平衡統計力学の教書では、気体中での音モードの出現を詳しく説明しているものもあるにはあります。
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＃１４での書き方に誤解を招くところがあったかもしれません。質問者さんが混乱するといけないので補足しますが、空気のような馴染みの深い気体中の音波では二体衝突だけ考えればよいという点について、何の異論もありません。
- cyototu
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質問者さんへ。この場が盛り上がっているようなので、貴方の質問から少しそれていることをお許し下さい。 ＝＝＝ #13さんへ。 縮退の話は、以下の２つの本に詳しく載っております。 "Classical Kinetic Theory of Fluids," P. Resibois and M. De Leneer, John Wiley & Sons Inc ( 1977) "Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics," R. Balescu, John Wiley & Sons Inc. (1975) 物性屋さんでフォノンの概念に慣れ勤しんでおられる方は、結晶中を調和振動子的に可逆力学の原理で伝わる音波を普段から取り扱っているので、それとは全く違った原理で気体中を伝わる音波の理解については、皆さん混乱していると言うのが私の印象です。この２つがどのくらい違ったものであるかの証拠に、フォノンの伝播には熱雑音は邪魔になりますが（実際フォノンは高温ではシステマティックに伝わらなくなりますが）、気体での音波の伝播は熱雑音に大変強いどころか、熱雑音があるからこそ可能になっています。 実はこう考えて来ると、水は分子で出来ているのですから、水の表面や水の中を伝わる波も、いきなりその波の波動方程式を書き下せば、それを理解出来たこのにはなっていないと言うこともお分かりになるでしょう。現象論的な立場では、測定によって得られた波の早さを波動方程式に代入すればそれで終わりですが、そもそも何でそんな「波の早さ」なるものが熱運動ででたらめにぶつかり合っている分子の集団の中に存在しうるのかが判らないと、本当のことが判ったことにはなっていない問うわけです。この例でも判りますように、工学で物を作ろうとする場合には、波動方程式そ書き下すだけで普通は十分なのですが、（従って、ミクロなレベルまで立ち入ってそのよって来たる所を理解することは時間の無駄なのですが）物理学者とは暇な連中らしく、物がたとえ作れてもそれでは気持ち悪がっているようです。 ＃１３さんのおっしゃる通り、学生達に歴史的な発展を教えることはどんなに重要だと言っても言い過ぎることは無いと思います。ただし、ノーベル賞を戴いた私の外国の先生が「高等教育で最も慎むべきは、学問を完成したものとして学生に提示することである。そんなことをすると夢多き優秀な学生達はその学問の世界から逃げ出してほかの営みに人生の目標を見いだそうとすることになるだろう」と常々おっしゃっていました。教育者の義務としては、今までに何が判るようになったかばかりではなく、まだ何が判っていないかを教えることが重要だと思います。 ＝＝＝ ＃１４さんへ。 たぶん貴方は平均場近似に関連したことをおっしゃりたいのだと思います。 空気中の音波は、流体力学的状況（すなわち波長のように、考えている距離が平均自由行程よりも圧倒的に長い状況）で伝わる波ですから、確かに多くの粒子がその波の伝播に関わりますので、多体効果と考えたくなる一面があります。しかし、この言葉は慎重に使わないと誤解を招く可能性があります。実際、音波をミクロなレベルから説明するボルツマン方程式の衝突項は、短距離力の２散乱の効果だけを考え、３体力、４体力、、、と言うような多体力を考慮に入れていないのが普通です。それにもかかわらず、流体力学的極限とよばれる状況では、この２体力だけで音波が出て来ます。従って、音波は多体力の効果ではありません。ですから、音波の伝播には多くの粒子が参加しても、非平衡統計力学では、音波の効果は２体散乱の効果であると通常は表現されています。それに、後でも触れるように、短距離力の場合、平均場の効果はあまりに小さいので、それを考慮する必要がないはずです。 一方、プラズマなどのように長距離力の場合には、平均場が重要になります。しかし、これも多体力ではなく、荷電粒子間の２体力だけを考えても出て来る効果です。プラズマの場合にはこれは Vlasov項とよばれている効果です。２体力だけを考えてどのようにこの平均場項が出て来るかを ミクロな立場から大変詳しく論じている文献として、 "STATISTICAL MECHANICS OF CHARGED PARTICLES," R. Balescu, Interscience Publishers, New York, 1963 が参考になります。このVlasov項と呼ばれる平均場による項をプラズマのような長距離力ではなく、通常の気体のような短距離力の場合に計算すると、事実大変小さな効果しか与えません。 私の見たところに依るとほとんどの教科書では、現象論的な説明だけを紹介して、ミクロからの説明は省いているようです。現象論的なアプローチは、一般に数学的な表現が簡単になり、従って計算が易しくなると言う意味で大変重要で有効なアプローチではありますが、そのアプローチでは自分で何を言っているのか判らずに混乱してしまう場合がしばしばあります。工学の応用としてはそれで失敗する機会は割と少ないようですが、物理学者の立場としては、現象論的な議論と、それに相補的な原理的な議論を共に上手に使いこなして行く態度が必要だと思っております。 また、物理学は数学とは違って、言葉を状況に応じて臨機応変に使う習慣がありますので、数学のように言葉そのものにこだわり過ぎると、しばしば混乱してしまいます。最終的にはその言葉に対応するものが、どのような数学的表現で表されているかということの方が、どういう言葉を使ったかよりも重要になるわけです。
音波が伝わるには衝突が必要（＃９）ということですが、その衝突を狭く解釈しないようにしてください。空気中でのように２個の粒子が接近して力を及ぼし合う二体衝突のほかに、（二体衝突は無視できる「無衝突系」の）粒子の集団同士が、場を介して力を及ぼし合うタイプの「衝突」もあります。そのような衝突は、例えば、電荷を帯びた粒子の系では電場や磁場を介して起こりえますし、恒星の集団では重力場を介して起こりえます。（＃５で質問された固体の場合も、例えば金属では、陽イオンの集団、電場、自由電子の集団が相互に影響し合うことがあるようです。）一群の粒子が集団として動くと、それによって場が変動し、それが他の一群の粒子の集団を揺さぶり、結果として音波のような波動が伝播することがあるというわけです。
- maru-tu
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質問者そっちのけでついつい盛り上がってしまっている点はご容赦を。 ＃９さんへ すいません。3桁ずれました。l→m^3 の変換のし忘れです。はずかしい。ということで、平均自由行程は0.1μmのオーダーです。 便乗質問なのですが、縮退とそれが解けるという話についてはさすがに初耳でした。もしよろしければ文献を教えてもらえるとうれしく思います。 物理観に関する話も、物理を志しているものとしては個人的には同意します。便宜的に考案された phenomenology が、より根源的な理論によりその適用限界まで含めて再構成されるさまはとても美しいと思います。 ただ、私は物理を学んでいる途中の人にとっては、歴史的な物理モデルの進化史というのも有効なのではないかと考えているのです。音波に関しては、ニュートンによる等温変化に基づくモデル(1687)にはじまり、ラプラスによる断熱変化への改良(1816)があり、マクロ的な取扱いは実験と良い一致をみた、つまり「このモデルにより音の伝播という現象の何かが表現された」と考えられたのです。 ところが、気体が分子により構成されるという観点から気体の理論を構築することで、1859年のマクスウェル分布の発見に至り、その観点からは気体において分子の衝突が重要な役割を果たすということが見出される、というような進展をしたわけです。 このような科学史と軌を一にする必要はないとは思いますが、モデルが進化すると共に「何がわかって、新たな疑問は何なのか」ということを追跡することは、多くの学生の問題意識と同様の問題点の深化を示しているように思うのです。 ですから、初学者が学んでいく時には、一足飛びに最新科学の知見だけをぽんと提示するよりも、それまでのモデルの変遷も加味したような説明のほうがすとんと腑に落ちるのではないかという私見をもっています。
- cyototu
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＃１１さんへ。 質問者さんの質問からずれてしまっていることをお許し下さい。 平衡状態の近傍では摂動の第二近似でまでは、運動量分布関数に関しては、ローカルにマッウエル分布関を満足しております。したがって、「局所平衡」と言う概念が意味を成します。それ以上の近似で局所平衡の意味が成すどうかは、私は考えたことが在りません。何処までの近似で局所平衡と仮定して良いのかは面白い問題ですので、そこをハッキリさせたら論文か書けるかもしれません。
＃９さんへ 横から入り込んですみませんが、「その摂動の第一近似」というのは、簡単に言い換えると、粒子がローカルにはマックスウェル分布に従うという近似のことで、「摂動の第二近似」というのはマックスウェル分布からの１次のずれを考慮する近似のこと、と考えてよいですか？ピントはずれですか？
>＃７さんへ >気体分子の平均自由行程は意外と短いので(0.1mmほど）、 とありますが、空気の場合には ０．１マイクロメートルのオーダーではなかったでしょうか？ （読み飛ばしていました。私の勘違いならすみません。）
- cyototu
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＃３です。 そこでの私の表現で貴方を混乱させてしまったようですね。申し訳ありません。 ＞理想気体は結局音波を伝播できるのでしょうか？ 伝播出来ません。衝突が必要だからです。 ＞それを不連続体である気体に拡張するのは一筋縄ではいかないということですね。 その通りです。気体の音波は大変奥が深いですね。 蛇足：＃７さんへ（以下の説明は専門家の方には蛇足かも知れませんが書いてみます。質問者さんも、今判からなくても、以下の論述で物理学の面白さの一面を感じることが出来るかもしれません。） 気体中の音波をミクロなレベルで説明するには、ボルツマン方程式の衝突演算子のゼロ固有値に対応する固有関数（熱平衡に対応）が縮退していることが本質です。３次元の気体では五重に縮退しています。＃７さんの２で言うように、平均自由行程が、考えている状況での長さのがよりずっと小さい短いときは、流れ項（可逆項）を衝突項（不可逆項）の摂動として取り扱えます。そして、その摂動の第一近似でゼロ固有関数の内の２つの縮退が解けます。それが外側に向かう音波と内側に向かう音波です。ここまでの近似では、音波に減衰項が現れません。摂動の第二近似で残りの３っの縮退が解け、それが拡散係数や粘性係数を与えます。また、同時に音波の減衰項が出て来ます。 摂動の第一近似で音波に減衰が出ないことがくせ者のようです。その結果、大変粗っぽい近似では音速は熱平衡状態のパラメータだけで書かれてしまうので、一見音波には散逸が無関係に見えてしまい、現象論だけて音波を学んだ方達が混乱してしまうのだと思います。 マクロ（あるいは現象論）とミクロ（あるいは原理）の関係ですが、私は個人的には物理学とは工学とはちがって、自然現象を単に合理的に説明出来るだけで善しとする学問ではないとの、独断と偏見を持っております。工学の目的は物を作ることですから、工学にとっては現象が目的の範囲内で合理的に理解出来ていれば十分だと思います。ところが、物理学は第一原理と言う物の存在を信じており、出来るならその第一原理から全ての森羅万象を統一的に説明しようという、言わば物理教という宗教とでも言えるような特殊な世界観を持った、大変面白くて変わった学問だと思っております。私にはそう言う物理学者特有の偏見があるために、一つの現象をマクロな説明とミクロな説明の二通りの説明法で理解することに、抵抗を感じるのです。第一原理なるものの存在を信じている物理学者として、どうしてもマクロな説明が可能な根拠をミクロなレベルで説明しないと、私は個人的に気持ちが悪いのです。皆様にはいろいろな考え方がありそうですので、私の考えを押し付ける気はありませんのが、物理学とは何なのかと言うことを考える時の参考意見として受け取って下さい。 本当のことを言うと、時間の対称性を破っているボルツマン方程式が、何故時間に対称な物理学の基本法則と両立し得るかまで説明しないと、音波の存在をミクロなレベルから理解できたとは言えません。そう言う意味では、ボルツマン方程式から出発した説明も厳密にはまだ「現象論」と言えます。 質問者さん、貴方の質問のお陰で、いきなり「物理学とは何か」と言う、物理学の質問の中でも特別に面白くて奥深い方向に議論がずれてしまいましたが（あるいは私が勝手にずらしてしまいましたが）「物理学とは単に目の前で起こっている個々の自然現象を合理的に説明しようと言う以上の、第一原理なるものにこだわった学問であるという、不思議な側面を持った知的営みである」などと、とんでもないことを言う奴がこの世の中にもいると言う面白さに免じて、脱線をお許し下さい。
お礼
再びの回答ありがとうございます。 理想気体は音波を伝播できないんですね。 ということは音楽が楽しめるのも身の回りの空気が理想気体でないお陰だったんですね～。 とても興味深いです。 ＞質問者さん、貴方の質問のお陰で、いきなり「物理学とは何か」と言う、物理学の質問の中でも特別に面白くて奥深い方向に議論がずれてしまいましたが 僕は物理学を専攻している者ではありませんが、こういう話は好きなので脱線は全然構いません。 物理教は面白いですよね。
＃５です。 固体中の原子は、位置の変化はわずかですが、つりあいの位置を中心として振動しています。ただ、その「速さ」について、私は確かなことは知りません。その分野に詳しい方に尋ねてください。 蛇足：＞＃７さんへ 振動を扱う際に、隣の（面の）原子だけ考慮すればよいというものではないようですよ。
- maru-tu
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＃１です。面倒だから省略したところにすごい勢いでコメントが付いてちょっとびっくりしています。 1. 私の話で一番怪しいところは、どのように振動が維持されるか、という部分です。密な場所や疎な場所ができたときに、平常の状態（大気圧の状態）に戻ろうとするということまでは定性的には説明できますが、そのあとどう振動を維持するかについては全く触れていないのです。 2. 微視的にいえば、気体分子の平均自由行程は意外と短いので(0.1mmほど）、頻繁に衝突を繰り返します。このために自由に散逸することができずに振動が維持される結果となります。 3. 巨視的にみるなら、気体を「パイプの中に封入した上で、小さな気泡に分ける」というモデル化をするとよいでしょう。各気泡は断熱膨張・収縮を繰り返しながら、隣同士で作用しあい、断熱振動が伝わっていきます。 4. 3. のようなモデル化をすれば、実は最初に否定した連成振動モデルは決して的外れなわけではないということもできます。 5. ところで固体では、金属原子同士が結合しています。これは連成振動の「ばね」にたとえることができます。ところで「ほとんど動いていない」というのは位置に着目した表現ですね。金属原子の「速度」は本当に小さいのでしょうか（位置と速度の区別をした上での発言かどうかが微妙に感じたので）。 6. 個人的には、ミクロなモデルもマクロなモデルも、所詮モデルにすぎないと考えています。どのように説明しても現象がきちんと説明できること、そしてそのモデルを介して我々が新たな知見を得ることができることには非常に価値があると思いますが、「どちらが正しい」という議論は不毛ではないかと。
お礼
<「ほとんど動いていない」というのは位置に着目した表現ですね。 ご指摘ありがとうございます。 金属原子の変位が小さいからなぜか速度も小さいと勘違いしてしまいました。 金属原子の振動の速度は全然別物ですね。
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お礼
大変詳しい説明ありがとうございます。 やはり気体中の音の伝播は複雑だったんだという思いです。 運動方程式、ボルツマン方程式は解いたことはありませんが、数学的に現象を理解するのも大切だと思いました。 回答の中で気になったことなのですが、理想気体は結局音波を伝播できるのでしょうか？ 疎密だけが音波の伝わる原因だとすると理想気体でも伝わる、と書いてありましたがその次に、理想気体の運動方程式を解くと音波として伝播する解は出て来ないと書いてあります。 これは音波の伝わる原因として、疎密の他に衝突も考慮に入れて運動方程式を解いたら伝播する解が出てこなかった、ということでしょうか？ そしてボルツマン方程式なら衝突を考慮に入れても（入れるからこそ）伝播する解が出てくるのでしょうか？ 僕の理解力が足りなくてすみません。