公務員試験の問題 物理

質問

公務員試験の問題でわからない問題があるので、解答お願いします！！

振動数４００Hzの発音体が４０m/sで観測者に向かって進んでいるとき
観測者は発音体から遠ざかる方向に１０m/sの速さで進んだ。音速を340m/sとすると、
観測者が聞く発音体の音の振動数は？？

計算式がわかりません。　とくに、遠ざかる方向への速さをどう反映すべきなのか。
解答よろしくお願いします。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

ドップラー効果の問題。観察者がどのような振動数の音を聞くのかを調べてみると、互いに近づきつつあるときには、本来の音より高い（振動数が大きい）音として聞き、互いに遠ざかる関係にあるときには、本来の音より低い（振動数が小さい）音として聞く、という現象です。

考え方
(1)音源が動くと、波長が変化する。
　音の波面に対して、音源が近づいたり遠ざかったりするため、波面間距離(これが波長です)が変わるためです。
(2)観測者が動くと、観測者にとっての音速が変化する。
　音速は、空気に対する速さですから、空気に対し観察者が動くなら、音速が変わったように観察されるからです。音の波面が進んでくる向きに進むときには、音速は速く観察され、音の波面から逃げるように進むときには音速は遅く観察されます。
(3)音速をＶ，波長をλ，音の振動数をｆとすると
　Ｖ＝ｆ・λ
が成立する。この式は、波の場合の基本公式で、或る立場の人にとっての　Ｖ，ｆ，λ の関係式です。

このことだけを使えば、どのような条件下での振動数も、すべて求まります。

>発音体が４０m/sで観測者に向かって進んでいるとき

音源が動いていますから、波長が変化します。
波長がどのように変化するかを考えます。
そのためには、(3)を使います。
音源と一緒に動いている人に語らせます。彼にとって音速はいくらでしょうか？
彼が静止しているなら、音速は340[m/s]です。しかし、彼は動いていますから、違った音速として観察するはずです。
発音体の進行方向(本問では、この方向に観測者がいるのですが)では、「音」を追いかけることになるので、彼にとっての音速Ｖ'は
　Ｖ'＝340－40＝300[m/s]
です。発する音の振動数は　ｆ＝400[Hz]　ですから、
　３００＝４００・λ
が成り立ち
　λ＝３/４[m]
です。この波長は、発音体の"前方"にいるどのような人でもが観察する波長となります。

次に、観察者が動いていることの効果を考えます。

>観測者は発音体から遠ざかる方向に１０m/sの速さで進んだ

観察者は、空気に対して１０[m/s]で運動しているわけですが、波面から逃げる向きに運動するのですから、彼が聞く音の速さＶ"は
　Ｖ"＝３４０－１０＝３３０[m/s]
です。

問題で問われている、観測者が聞く音の振動数をｆ[Hz]とすると、観測者にとって、音速がＶ"，波長がλですから、彼が聞く音の振動をｆ[Hz]とすると
　Ｖ"＝ｆ・λ
が成り立ちますから、上の数値を代入して
　３３０＝ｆ・(３/４)
∴　ｆ＝…[Hz]

一般的に…
(1)　音源が速さｖ[m/s]で運動するとき
音源の進行方向での波長は
　Ｖ－ｖ＝ｆ・λ
より
　λ＝(Ｖ－ｖ)/ｆ
音源の後方での波長は
　Ｖ＋ｖ＝ｆ・λ
より
　λ＝(Ｖ＋ｖ)/ｆ

(2)観察者が速さｕ[m/s]で運動するとき
音から逃げる（発音体から逃げる）ように動くとき
彼にとっての音速は
　Ｖ'＝Ｖ－ｕ
発音体に向かって進むときは
　Ｖ'＝Ｖ＋ｕ
(3)観察者が聞く音の振動数をｆ'とすると
　Ｖ'＝ｆ'・λ
がなりたつので
上に書いたパターンのどれかを代入して計算すれば良いわけです。

公式として書くと

　ｆ＝{(Ｖ∓ｕ)/(Ｖ∓ｖ)}・ｆ

と書けます。ここで複合は、
（ア）ｖの前の複号は、
　発音体が観察者の方向に進むとき－
　観察者から逃げる向きに進むとき＋
（イ）ｕの前の複号は
　観察者が、音源から逃げるとき－
　観察者が、音源に向かって進むとき＋

お礼

ありがとうございました！！

解決できました！！