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コインの敷き詰め問題
類似問題が質問No.194307 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=194307 にもありますがあえて質問させてください。 「14cm四方の正方形の中に一円玉(直径2cm)を互いに重なることなく何枚敷き詰めることができるか」 という問題です。化学の先生に出されて3日間悩んでます。よくある問題かと思ったら案外ネット上に情報がなく、 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/acbox.htm くらいしかありません。 49枚入るのは当然ですが、50枚入ることはあるのでしょうか。一円玉50枚で実際にやってみたり、一列あたりの枚数による一列の高さ、平均充填率などを求めて計算したりしていますが、惜しいところで必ずわずかにはみだしてしまいます。 14cm四方では無理なんじゃないかと思い始めているんですが、数学の先生が、ある数学者(？)が成功したというのを何かの本で見たことがあるというようなことを言うので、あきらめるにもあきらめきれません。出題した化学の先生も知っているというわけでもないようです。やってみたら入ったということですが、本人自身も上に参照してある「惜しいケース」だったのではないかといい始めてます。 本当は数学的な証明がほしいところですが、なくてもけっこうです。50枚入ったという方、もしくはその方法を知っているという方がいらっしゃったら教えてください。もちろん不可能であるという証明でもかまいません。よろしくお願いします。
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- ymkwa_t
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- sanpogo
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正解については分かりませんが一応訂正しておきます。 正三角形の一辺の長さ１５ｃｍというのは変わりません。 図がかけないのでイメージが湧かないのだと思いますが 円８個を串で貫いて最後の一つは半分だけ（中心まで）しか 差し込まないということです。（余計分からなくなりましたか？） 円を８個完全に貫かない理由は 別にそれでも出来るのですが 正方形の頂点と円までの距離を出すのが面倒だからかな。（その後の計算もめんどくさそう） １５√３は１５√３/2です。（書き忘れでしょう） あと1/2というのも違ってますね。 ＃３の方の回答にはかかれていませんが １段目の中心をつなげたものと 垂線Ｎ、上辺下辺は平行です。 ∠ＢＰＱ＝６０° ですよね。 だから ＢＱ＝√３/２ です。 よってＱと上辺の距離は１－√３／２（＝０．１３３９７４５） １４．１２４３５５６５２９８ｃｍ 惜しい・・・ もし紙の上に１４ｃｍ四方の正方形を書いて １円玉を並べるのなら入っているように見えるかも。 他にはどんな並べ方があるのでしょうか。 まず最初に１円玉を十字に並べて 隙間を埋めていく方法をやってみたのですが 明らかに無理そうでした。 あとは中心からバームクーヘンみたいに段々と広げていって四隅の隙間を１円玉で埋める方法。 試している途中で気が付きました。（やる前に気づかないのが鈍い） これって結局すでに思いついた方法を並べる順番が違うだけで最終的な形は一緒であると。（交互に並べるのとです） 関係ないですけど 駄目な方法としてもかなり惜しいですよね。 だからもっと正方形を大きくしたら出来るんじゃないかと思ったのですが。 ｎｃｍ四方の正方形に１円玉を（ｎ/２）＾２個 よりも多く敷き詰める。 変わるのは正三角形の大きさだけだから １＋（１－√３/２）＋（ｎ＋１）・√３/２≦ｎ ですよね。 これを解くと ２≦（１－√３／２）ｎ ２／（１－√３／２）≦ｎ ｎ≧14.928203230275509174109785366031 てことは １５ｃｍ四方以上なら（ｎ/２）＾２個より 多く敷き詰められますね。 これはあえて１４ｃｍとしている事から何か特別な方法があるのかもしれませんね。
お礼
どうもすみません。 >Ｌと８段目の円との交点Ｐ というのを読み違えていました。 僕は質問のところにも書いたように一列あたりの高さ(＝√3）を求めてから最下列２(cm)を足して2＋√3*７(列)＝２＋7√3 と計算していたので考え方にちょっと違いがありました。しかし正三角形を考える方法のほうが計算の効率がよさそうですね。 ＞これはあえて１４ｃｍとしている事から何か特別な方法があるのかもしれませんね。 全くもってそのとおりです。たとえば20ｃｍならば http://www.torito.co.jp/puzzles/313.html にあるように１０５個や１０６個入ったりします。ちなみにこの方法はどちらも１４ｃｍのケースでは役に立ちません。１列あたりが７個と６個の組み合わせでは上記の方法以上の成果はあげられないのです。 また果たして５０個入るやり方があるとしてその方法が規則的なならべかたなのかが問題です。 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/acbox.htm では左右対称という規則性がありますが、一列あたりの個数ということにはあまりこだわっていないようです。
- weasel
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すでに分かってると思いますが あえてできないという例を 下から７枚、６枚と交互に重ねていって ８段入れることが出来れば５２枚ですね。 １段目の左端の中心（Ａ）から２段目の左端の中心を通るように延長線Ｌを引きます。 Ｌと８段目の円との交点Ｐとします。 ＡとＰの距離は１５． 一辺１５ｃｍの正三角形を考えその三角形の高さは １５√３ｃｍ １段目の中心から下辺までの距離が１ｃｍ ここまでだと １３．９９０３８１０・・・（１） なんですけどね。 交点Ｐから上辺までの距離は 交点Ｐを含む円の中心（ｂ）から上辺へ垂線Ｍを下ろし 交点Ｐから円の中心へ垂線Ｎを下ろす。 半径が１ｃｍだからｂと垂線Ｍと垂線Ｎの交点Ｑまでの距離は１/2 Ｑから上辺までは1/2. （１）＋1/2=14.490 駄目ですね。
補足
＞ＡとＰの距離は１５． AとPの距離は14cmではありませんか？ ＞一辺１５ｃｍの正三角形を考えその三角形の高さは １５√３ｃｍ 一辺xｃｍの正三角形の高さは x√3/2ではありませんか？ よって高さは7√3では？ ゆえに7枚6枚の組み合わせでは高さが7√3+2≒14.124cmとなるはずですが…。
- plussun
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- plussun
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お礼
実は僕も http://web2.incl.ne.jp/yaoki/acbox.htm のプロセスについて知りたいんです。 有効数字５桁もの正確さがあるからには計測でなく計算があるはずなんですが、見たところ、左右対称以外の規則性が見当たらないので(*_*)の状態です。 出題された問題と寄せられた解答とを紹介するサイトなので、Y.M.Ojisanさんという人に直接質問できないのが難点です。ダメもとで「数学の部屋」のあるじにメールを送ってみます。 それにしても、この解答を見て以来、規則的な（１列に何個など…)並べ方ではダメなのだろうか。ダメだとしたらどうやれば方法を見つけられるのか。ということで悩んでいるのです。 ＞実際にやってみるのだったら出来るのではないですか？ とのことですが、実際にやっています。（二人出資(？)しただけで６０枚近くたまりました(笑)）たしかに参考のページのやり方では入りきったように見えます。出題した化学の先生が「それでやったのかも」と言い始めているのは最初の質問欄で述べてあります。（この先生にもどこから持ってきた問題なのか問いただしてみます。） ＞１円玉を立てて敷き詰めたら 厚さを１mmとみなして140*7＝９８０枚・・・こんなに一円玉集めたくありません。