量子力学について

質問

2原子理想気体のモル比熱は2/5Rですが、
これを証明するのにハミルトニアンを用いて
H=1/2m（px^2+py^2+pz^2)＋1/2I（Pθ^2＋pz^2/sin^2θ）
より
E＝H＝（kT/2）×5=5/2kT
となっていました。
H=1/2m（px^2+py^2+pz^2)＋1/2I（Pθ^2＋pz^2/sin^2θ）の式の
導出を教えてください。
また参考サイトがあれば教えてください。

回答No.3

jkallnight

さっきの続きです。pzはpφの書き間違いと思われるので
重心回りのエネルギーを球座標（r,φ,θ）を使って考えます。
また時間に関する１回微分をx'とあらわすことにします。
まず重心を原点に固定します。すると重心回りの運動エネルギーは
U=(x'^2+y'^2+z'^2)*M/2・・・(1)
x=L*sinθ*cosφ　y=L*sinθ*sinφ　z=L*cosθ　とおくと
x'=L*θ'*cosθ*cosφ-L*sinθ*φ'*sinφ
同様に　y'　z'　も求めて(1)に代入し整理。
すると
U=(L^2*θ'^2+L^2*φ'^2*sin^2θ)*M/2
一般化運動量は定義より
pθ=M*L^2*θ'・・・(2)
pφ=L^2*φ'^2*sin^2θ*M・・・(3)
(2)(3)を(1)に代入し
U=(pθ^2+pφ^2/sin^2θ)/(2M*L^2)・・・(4)　
一方慣性モーメントIは
I=m*L^2+m*L^2=2*m*L^2=M*L^2　これを(4)に代入し
U=（Pθ^2＋pφ^2/sin^2θ)/2*I
H=E+Uより
H=（px^2+py^2+pz^2)/2*M＋(Pθ^2＋pφ^2/sin^2θ)/2*I
終わり
だと思います。みずらくてすいません

回答No.2

jkallnight

まず２原子の質量は同じと考えている要なのでその２原子の質量をmとします。そしてその２原子を質量の無視できる長さ2*Ｌの棒でつないだとします。
するとこのモデルは剛体として扱えます。剛体の運動は重心の並進
運動と重心まわりの回転とに分離して考えることができます。（解析
力学参照）。まず重心の並進の運動エネルギーはxyz直交座標で
E=(px^2+py*^2+pz*2)/2*M　　（M=2m)です。
次に重心まわりの回転のエネルギーですが重心は棒の真ん中なので
そこを原点に固定し求めるのですが、pθとpzが出てきてますが
これは座標系は円筒座標を使っているのでしょうか？

回答No.1

noel_lapin

Hの第１項は運動エネルギーです。第２項は回転のエネルギーです。質量ｍと慣性モーメントIが対応し、運動量ｐと角運動量L（Pθ、pz)が対応します。運動量はxyzの３方向あって、角運動量は２方向（経度と緯度）あります。質問の式の(pz/sinθ)^2の出どころがよくわかりませんね。何かθだけ傾いた方向への成分を表しているようですが?