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数IA

 整数の約数の個数の求め方がわかりません。 例)整数5400の正の約数は全部で((1))個ある。   またこれらの約数の総和は((2))である。ただし、1と5400   自身も約数とする。  この()の中の答えは(1)48と(2)18600なんですが  解き方がわかりません。お願いします。

みんなの回答

回答No.6

この手の問題は定石があります。 (1)5400を素因数分解すると 2^3・3^3・5^2となります。 だから5400の正の約数は2^a・3^b・5^c (a=0,1,2,3:b=0,1,2,3:c=0,1,2) なのでaの定め方は0~3の4通り 各々についてbは4通り       cは3通り   なので積の法則から5400の正の約数は4・4・3=48(個) (2)5400の正の約数は (1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2+3^3)(1+5+5^2) を展開した項で表せます。 なので求める和は(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2+3^3)(1+5+5^2)=18600 おそらく教科書にも載ってるかと思いますので参照ください。

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  • key-boy
  • ベストアンサー率23% (11/46)
回答No.5

5400=2^3×3^3×5^2 より(3+1)×(3+1)×(2+1)=4×4×3=48 (1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2+3^3)(1+5+5^2) =(1+2+4+8)(1+3+9+27)(1+5+25) =40*15*31=18600

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  • uehashu
  • ベストアンサー率42% (15/35)
回答No.4

約数問題や倍数問題の基本は素因数分解です。 5400 = 2^3 * 3^3 * 5^2 ですね。 (1)例えば、2^3を見てみると、2^0、2^1、2^2、2^3のときにそれぞれ約数があります。5400はどれでも割り切ることが出来ますよね? つまり、2^mのとき、(m+1)通りの約数が存在することになります。 これがそれぞれ3と5にもいえますので、 (3+1) * (3+1) * (2+1) = 48 となります。 (2)まず回答を示します。 (1+2+4+8) * (1+3+9+27) * (1+5+25) = 18600 となります。これは因数分解された関数の展開式と取ることができます。 最初の括弧は (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3)です。 この式は、2つの項を固定してしまえば理解しやすいとおもいます。

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  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.3

(1)だけ 5400を素因数分解すると 2が3個、3が3個、5が2個。 言い換えれば、 赤い玉が3個、青い玉が3個、緑の玉が2個。 玉の選び方は、赤と青が4通り(0~3個)、緑が3通り(0~2通り) 3色の玉の選び方を書き出してみると、 赤0、青0、緑0 (1に相当) 赤0、青0、緑1 (5に相当) 赤0、青0、緑2 (25に相当) 赤0、青1、緑0 (3に相当) 赤0、青1、緑1 (15に相当) ・・・・・ 赤3、青3、緑2 (5400に相当) というわけで、 「約数の個数を求めよ」 は、 「玉を選ぶ場合の数を求めよ」 と同じ。 赤4通り × 青4通り × 緑3通り  = 48

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  • ngtk
  • ベストアンサー率44% (11/25)
回答No.2

すいません#1です。抜けている箇所があったのでもう一度乗せます。 (1) まずはじめに5400を因数分解します。 すると5400=2^3*3^3*5^2というふうになります。 約数はかならずこの因数(2、3、5)の要素を持つことになりますよね。 そこで約数をこのように考えます。 2^x*3^y*5^z x=0,1,2,3のいずれかy=0,1,2,3のいずれかz=0,1,2のいずれかを入れることによって、約数はすべてあらわせるわけです。 なのでxyzの組み合わせを考えると4*4*3=54となります。 (2)式だけを示すと (2^0+2^1+2^2+2^3)*(3^0+3^1+3^2+3^3)*(5^0+5^1+5^2)=18600 となります。これを展開してみるとわかると思うのですが、最終的な答えは約数の総和になります。

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  • ngtk
  • ベストアンサー率44% (11/25)
回答No.1

(1) まずはじめに5400を因数分解します。 すると5400=2^3*3^3*5^2というふうになります。 約数はかならずこの因数(2、3、5)の要素を持つことになりますよね。 そこで約数をこのように考えます。 2^*3^y*5^z =0,1,2,3のいずれかy=0,1,2,3のいずれかz=0,1,2のいずれかを入れることによって、約数はすべてあらわせるわけです。 なのでxyzの組み合わせを考えると4*4*3=54となります。 (2)式だけを示すと (2^0+2^1+2^2+2^3)*(3^0+3^1+3^2+3^3)*(5^0+5^1+5^2)=18600 となります。これを展開してみるとわかると思うのですが、最終的な答えは約数の総和になります。

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