約数の総和についての問題です！

質問

17640の正の約数のうち、15で割りきれないものの総和をお願いします！
正の約数の個数は72個、単なる約数の総和は66690まで出せたのですがここからがわかりません！
回答お願いします！

回答No.3

ferien · ベストアンサー

17640の正の約数のうち、15で割りきれないものの総和をお願いします！
正の約数の個数は72個、単なる約数の総和は66690まで出せたのですが
＞ここからがわかりません！

約数の総和＝（１＋２＋2^2＋２^3）（１＋３＋３^2）（１＋５）（１＋７＋７^2）
ですが、
（１＋３＋３^2）（１＋５）の部分を展開してみると、
｛１＋（３＋３^2）｝（１＋５）
＝１＋５＋（３＋３^2）＋５×（３＋３^2）
１５の倍数に関係するのは、５×（３＋３^2）の部分なので、
元の真ん中の式の変わりに、１＋５＋（３＋３^2）に置き換えて計算すると

15で割りきれないものの総和は、
（１＋２＋2^2＋２^3）｛１＋５＋（３＋３^2）｝（１＋７＋７^2）
＝１５×１８×５７
＝１５３９０
１５で割り切れるものの総和は、
（１＋２＋2^2＋２^3）｛５×（３＋３^2）｝（１＋７＋７^2）
＝１５×６０×５７
＝５１３００

合計で、６６６９０です。

でどうでしょうか？

お礼

１５の倍数に関係するのは、５×（３＋３^2）の部分なので、
元の真ん中の式の変わりに、１＋５＋（３＋３^2）に置き換えて計算すると

なんで関係すると置き換えて計算するのでしょうか？

回答No.4

ferien

ANo.3です。

＞１５の倍数に関係するのは、５×（３＋３^2）の部分なので、
＞元の真ん中の式の変わりに、１＋５＋（３＋３^2）に置き換えて計算すると
＞なんで関係すると置き換えて計算するのでしょうか？

１５の倍数＝１５で割り切れる数です。
今求めているのは、１５で割り切れないものの総和ですよね？

だから、１＋５＋（３＋３^2）＋５×（３＋３^2）のなかの
１５で割り切れる数に関係する、５×（３＋３^2）ではなく、
１＋５＋（３＋３^2）の方を使って和を求めたということです。

どうでしょうか？
まだ何かあったらお願いします。

お礼

なるほど！
ありがとうございました！

回答No.2

FT56F001

17640=2^3*3^2*5*7^2と素因数分解できて，
その約数の総和が
(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)(1+7+49)=66690，
約数の個数が4*3*2*3=72個までは分かったんですね。

この計算の成り立ちを理解すれば，
17640の約数で15の倍数だけの総和は，
51300であることは分かるはずです。

お礼

この計算の成り立ちはなんでしょうか

回答No.1

Tacosan

「15 で割り切れる約数の総和」はいくつ?

お礼

考え方は全ての総和から15で割りきれる約数の総和を引くのだと思うのですが15で割りきれる約数の総和の求め方がわかりません！