確率の問題

質問

問題
3人でジャンケンをして勝者を決めることにする。
例えば、1人が「紙」を出し、他の2人が「石」を出せば、ただ1回でちょうど1人の勝者が決まることになる。
3人でジャンケンをして、負けた人は次の回に参加しないことにして、ちょうど1人の勝者が決まるまでジャンケンをくり返すことにする。
このとき、k回目に、初めてちょうど1人の勝者が決まる確率を求めよ。

私は、
(ⅰ)(k-1)回目までずっと引き分け、k回目にひとりが勝つ
(ⅱ)(k-1)回目までに3人からふたりになり、k回目にひとりが勝つ
と、考えました。
解はあっているのですが、解法が持っている解答と違うので質問します。

(ⅱ)で、3人からふたりになるのがm回目だとして、
　　3人が引き分けである確率は　1/3
　　3人からふたりになる確率は　1/3
　　ふたりが引き分けである確率は　1/3
　　ふたりのうちひとりが勝つ確率は　2/3
　　m回目の選び方は、(k-1)回までのひとつなので　(k-1)C1=k-1
　　と考え、まとめて、(2k-1)/3^k　を解としました。

どうでしょうか…？？　おかしいところを教えてください。
また、個々の確率について、例えば、
ふたりのうちひとりが勝つ確率　の考え方は、
それぞれの出す手が　1/3
出す手の組み合わせが　3つ
どっちが勝つのかで2C1
と考えて求めました。
これ自体、どうなのでしょうか？　なんだか自信がありません。

回答No.1

kuroro614 · ベストアンサー

今年大学の数学科を卒業した者です。
質問にお答えしたいと思います。
miSchkaさんの問題の解き方で大丈夫ですよ。
きわめてオーソドックスな解法だと思います。
またふたりのうちひとりが勝つ確率の考え方も問題ないと思います。
別の考え方で確率の定義に戻って考える考え方もあります。
確率の定義は
確率＝その場合の数/全体の場合の数　　ですので
二人のうち一人が勝つ確率は
全体の場合の数は、一人が出す手は３通りあるので、３×３＝９通り
その場合の数（二人のうち一人が勝つ場合の数）は
勝つ方の手がグー、チョキ、パーで３通り、勝つ人がどちらかで２通り
よって３×２＝６通り
求める確率は６/９＝２/３　となります。

お礼

ご回答ありがとうございます
安心しました^o^　別の考え方も参考になりました。
いろいろ頭の中を整理しながら勉強していこうと思っています。