確率＋数列

質問

A,B,Cの３人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けたものは、以後じゃんけんから抜ける。残り一人になるまでじゃんけんを繰り返し
、最後に残ったものを勝者とする。ただし、あいこの場合も１回と数える。
ｎ≧4のとき、n回目のじゃんけんで勝敗が決まる確率を求めなさい。
という問題で、
（１）ｎ回目のじゃんけんが三人に行われる場合
(1/3)^n これはわかりました。
(２)ｎ回目のじゃんけんが２人で行われる場合
k回目のじゃんけんで３人から２人になるとすると
(1/3)^k-1・1/3・(1/3)^n-1-k・2/3＝２(1/3)^n(k=1,2,3....,n-1)
n-1Σk=1 2(1/3)^n
この式の意味がよくわかりません。
kは消えているのでｋ回目がいつになっても関係ないということですか？？
ｋが１からn-1までの合計ということはわかっていて、
しぐまをつかえばいいのわわかるのですが・・
よくわかりません。
よろしくお願いします。。
数列の知識が不足しているのかもしれませんが・・・・

回答No.2

voice_koe · ベストアンサー

(1/3)^k-1は3人であいこの確率(1/3*1/3*…)
1/3は3人から2人になる確率
(1/3)^n-1-kは2人であいこの確率
2/3は最後(n回目)に勝負のつく確率(=2*1/3)

2*(1/3)^(k-1 + 1 + n-1-k + 1)=2*(1/3)^n

結果的に、kがいつでも関係ないということになります。

1回目のじゃんけんで3人から2人になりn回目で勝負がつく確率
2回目のじゃんけんで3人から2人になりn回目で勝負がつく確率
3回目のじゃんけんで3人から2人になりn回目で勝負がつく確率
・
・
n-1回目のじゃんけんで3人から2人になりn回目で勝負がつく確率

のそれぞれの確率が2*(1/3)^nなので

n-1
Σ2(1/3)^n = (n-1)*2(1/3)^n
k=1

となります。

n
Σc =n*c (n個のc)
k=1

お礼

kが消えてるため混乱していました、よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.1

774danger

k回目のじゃんけんで３人から２人になって、n回目で勝負が決まるのですから、
・k-1回目まではあいこ
・k回目で1人脱落
・k+1回からn-1回までは(2人じゃんけんで)あいこ
・n回目で(2人じゃんけんで)勝負が付く
という確率を全部掛け合わせると...........

kが消えるということは1人目がいつ負けても変わらないんでしょうね。

お礼

そういうことでしたね、ありがとうございました。