化学工学 伝熱の問題

質問

問題文は
１辺Lの立方体の形をした倉庫がある。内部は扇風機により十分攪拌されている。また電気ストーブが設置されており、それ以外は空である。外壁は６面とも外気と接しており総括伝熱係数はUである。空気の出入りはなし。外壁、扇風機、電気ヒーターの体積や熱容量は無視できる。倉庫内の空気は理想気体とし、その量は、２７３K、１atmで立方体の体積に相当するとする。
L：５ ｍ、U:２ Wm-2K-2、電気ストーブ能力Ps [W]、扇風機消費電力Pf:0.3 kW、外気温度To：２８０ K、空気の定容モル比熱C:２．５R Jmol-1K-1(Rは気体定数で８．３Jmol-1K-1)
といったよな内容で、問いが能力Psの電気ストーブを、時刻toでつけてからの倉庫内温度Tの変化を求めるために、倉庫内温度Tを時間ｔの関数として決定する微分方程式を記述せよとのことなのですが、
(Ps-Pf)dt=(L^3/273R)*Cp*dT (Cp=C+R)
と自分なりに立ててみたのですが、どうもしっくりきません。結構長い間考えたのですがわかりません。教えてください。

回答No.1

c80s3xxx · ベストアンサー

箱の中の温度はTで均一であるとみなし，時間 t から t+dt の間の熱収支を考える．
まず熱の発生．
熱源はストーブと扇風機自体．あわせて (Ps+Pf)dt [J] の熱が発生する．
熱の消費は壁からの放熱と内部気体自体の温度上昇．
前者は壁の総面積(6L^2)と伝熱係数(U，単位は Wm^-2K^-1 の間違いでしょう)，外部と内部の温度差で決まり，6L^2・U・(T-To)dt [J] (各項の単位をよく考えること)．この項があなたの答案には考慮されていない．
後者は，この間に温度が T から T+dT まで変化したと考え，内部気体の総熱容量を C' [J K^-1] とすれば C'dT [J]．
これらの間の関係が熱収支で，要するに発熱量=温度上昇分+放出分という関係を考える．つまり (Ps+Pf)dt = 6L^2・U・(T-To)dt + C'dT．
これでじつは要求された微分方程式は求まっているのだが，C' という問題に与えられていない量を用いているので，これを求めておかなければならない．
内部気体の総物質量 n [mol] は L^3[m^3]×101325[N m^-2] = n×8.3[J mol^-1]×273[K] から求める．ただし 1 atm = 101325 N m^-2 を使用．
容器の体積変化を無視すれば，この n mol の気体の全熱容量 C' = n・C と表せる．内部は昇温にしたがって圧力も上がっていくべきであり (空気の出入りはないという仮定，すなわち密閉容器)，定圧比熱で考えるのは仮定に反する．
あとは数値を入れて計算して．解答には初期条件を明示すること．

お礼

大変丁寧な回答ありがとうございました。壁からの放熱はを考慮に入れなくてはいけなかったのですね。とても助かりました。