直線のベクトル方程式

質問

青チャート、数学Bの２２８の問題で１時間悩みました。
解法自体は完全に出来るのですが、
１箇所だけ自分がどうして間違っているのかわかりません。

［問題］
OA=a,OB=b,|a|=|b|=1,a・b=k（k以外すべてベクトル）
の時、線分OAの垂直二等分線の方程式を媒介変数tとa(ベクトル),b(ベクトル),kを用いて表せ。

［質問部分］
点BからOAへの垂線をBHとし、∠AOB＝θとすると、
OH(ベクトル)＝cosθ・a(ベクトル)
となるらしいのですが、どうしても
「OH(ベクトル)＝cosθ・b(ベクトル)」
と思えてしまいます。
なぜOH(ベクトル)＝cosθ・a(ベクトル)なのでしょうか。

式変形を教えて下さい。宜しくお願いいたします。

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

OAへの垂線
だからHはOA上
OHはaと平行
OH(ベクトル)＝cosθ・a(ベクトル)
とaの定数倍（cosθ）
定数は　斜辺OB＝１で直角三角形を考えればわかります。

補足

早速の回答ありがとうございます。
＞OH(ベクトル)＝cosθ・a(ベクトル)
は「点Hは線分OA上にあるからcosθ=k(k:定数)とすることでOH(ベクトル)＝cosθ・a(ベクトル)が成り立つ」
と考えることで解消できますね！
なるほど、納得です！

ここで、まだわからないことが・・・
申し訳ありませんが、回答いただけるとありがたいです。

わからないのは、Meowthさんがおっしゃっているように、
斜辺OB=１で直角三角形を考え、OHを示そうとすると、
OH/OB=cosθ⇒OH=cosθ・b(ベクトル)
となり、|OB|=1ではありますが、
上式に当てはめることは出来ないのではないでしょうか？

そうすると、
OH(ベクトル)＝ka(ベクトル)
が成り立つとしても、
OH(ベクトル)＝cosθ・a(ベクトル)
が成り立つとは言えないのでは・・・？

飲み込みが悪くてすみません。
周りに聞ける人もいなくて・・・
申し訳ないのですが、回答お願いします。

回答No.3

Meowth

OH/OB=cosθ⇒OH=cosθ・b(ベクトル)
最初の式のOH、OBは線分の長さで
ベクトルではない。
｜OH|/｜OB|=cosθ
でこれは正しい。
これからOH,OBをベクトルとみなして、
OH（ベクトル）=cosθb(ベクトル)
（右辺はベクトルｂのスカラーcosθ倍）
としたら間違え。
｜(ベクトル）OH|/｜(ベクトル）OB|=cosθ
からは｜(ベクトル）OB|＝１だから
｜(ベクトル）OH|=cosθ
となって(ベクトル）OHの大きさがわかる
(ベクトル）OHの向きは(ベクトル）a方向なので
この大きさから
(ベクトル）OH=cosθ(ベクトル）a
となる。

大きさがベクトルに変わってしまうので間違えるのでしょう
あと、スカラーとベクトルの間に・を入れると
そのうち前のスカラーがベクトルに変わったり、
内積a・ｂがスカラーとベクトルの積に変わったりと
勘違いのもとですので、気をつけてください。
(ベクトル）OH・(ベクトル）b　は内積で結果はスカラー
｜OH}・(ベクトル）bはベクトルbの|OH|倍で結果はｂ方向のベクトル
｜OH}・(ベクトル）a はベクトルaの|OH|倍で結果はa方向のベクトル
|OH|・|OB|はスカラーとスカラーの積で結果はスカラー
ですから。

お礼

２度も回答していただき、ありがとうございます！
そうでした、スカラーとベクトルを間違えていたんですね。。
ものすごく基本で間違えていたんですね；
基本を非常に解りやすく解説していただきありがとうございました。
これがきちんと理解していないと、他の問題でも間違えるところでした。
本当にありがとうございました！！

回答No.2

nettiw

|h|=(cosθ)=kです。

>>　|a|=|b|=1
>>　a・b=|a||b|(cosθ)=(cosθ)=k

　　>>　p=(1/2)a+t[b-h]

>>　|h|=|b|(cosθ)・・・（錯誤の原因の式。）
>>　|h|=(cosθ)=k

>>　h=|h|(a/|a|)=|h|a=(cosθ)a=ka・・・（疑問の式。）

　　>>　p=(1/2)a+t[b-ka]　　または、
　　　　　={ (1/2)-kt }a+tb　　　　　　。

お礼

早朝から回答していただき、ありがとうございます！
非常に簡潔なご指摘で理解しやすかったです！
ありがとうございました！