指摘、おねがいします。。。

質問

ａを実数の定数とするとき、ｘの２次方程式ｘ^2－(２－ａ)ｘ＋ａ＋１＝０について次の問いに答えよ。
１つの解が０＜ｘ＜２の範囲にあり、他の解がｘ＜０または２＜ｘの範囲にあるようにａの値の範囲を求めよ。

という問いで私は、
判別式Dより、a＜０、a＞８
(1)、f(０)＜０の時、a＜－１　　　　　(2)　f(０)＞０の時、a＞－１　
f(２)＞０の時、a＞－1/3　　　　　　　f(２)＜０の時、a＜－1/3
というようなことをしましたけど、解答からすべて違います。何がいけないのですか？
教えてください。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

f(x)=ｘ^2－(２－ａ)ｘ＋ａ＋１
として
f(0)・f(2)＜0 ⇔ -1＜a＜-1/3
というのが「正解」なのでしょう,

f(x)=0の判別式D＞0より、a＜0 または 8＜a
実はこれは（正しいけれども）今の場合不要です.

なぜなら, y=f(x)のグラフは下に凸な放物線で
求める条件は
i)他の解がｘ＜０にあるとき
f(0)＜0 かつ f(2)＞0 ⇔ a＜-1 かつ a＞-1/3
より 解なし
ii)他の解がｘ＞2にあるとき
f(0)＞0 かつ f(2)＜0 ⇔ a＞-1 かつ a＜-1/3
より -1＜a＜-1/3

i)またはii)より -1＜a＜-1/3 ・・・(答)

「補足]判別式の符号を考えなくても, f(0)＞0 かつ f(2)＜0 などの条件で異なる2実解を持つことは2次関数のグラフの性質より保証されます.
判別式の条件よりも「f(0)＞0 かつ f(2)＜0」 などの条件の方が厳しい条件（許される範囲が狭い）なので, 今の場合は不要です.

補足

他の解がｘ＜０にあるとき
f(0)＜0 かつ f(2)＞0 ⇔ a＜-1 かつ a＞-1/3
より 解なし
なぜ、解なしなんですか？

回答No.4

oshiete_goo

#2の者です. 質問者さんの回答2への疑問
＞なぜ、解なしなんですか？
については#3さんが既に数学的には十分な説明をして下さっていますので, 重なりますが, 補足説明です.

＞i)他の解がｘ＜０にあるとき
＞f(0)＜0 かつ f(2)＞0 ⇔ a＜-1 かつ a＞-1/3
＞より 解なし

グラフを描けば分かるように. 「他の解がｘ＜０にあるとき」の条件は
f(0)＜0 ⇔ a＜-1 （数直線で-1より左側）
f(2)＞0 ⇔ a＞-1/3　（数直線で-1/3より右側）
この2つの条件を同時に満たすことですが,　2つの範囲には重なりがありません．
つまり，この2つの条件は矛盾していて，同時に満たすような「不等式の解」aは存在しません．
これは「(元の方程式の)他の解ｘがｘ＜０にあるとき」を満たす場合が起こらない（そういうaは存在しない）ことを示しています．「解」という言葉を２つの違った意味で使ったので，混乱したかも知れませんが，慣れてくると，普通はこの程度の使い方はよくするので，判断できるよう慣れていって下さい．

身長が「2メートルより大きくてかつ1メートルより小さい」人は存在しない（条件が矛盾しているから）のと同じで，今の問題では，起こるかどうか調べてみたけれども「（元のｘの方程式の）他の解がｘ＜０にあるとき」は決して起こらないことが分かったということです．
ここで注意しておいてもらいたいのは，数学で大事なことは，起こる可能性があるあらゆる場合を全て検討して，あればその条件を求め，なければ存在しない理由をきちんと示すことなので，「他の解がｘ＜０にあるとき」について，aの条件を論理的に調べた結果「（この場合は）解なし」であっても一向に構わないのです．

回答No.3

hinebot

念の為にお伺いしますが、A#2の方の回答の

>i)他の解がｘ＜０にあるとき
>f(0)＜0 かつ f(2)＞0 ⇔ a＜-1 かつ a＞-1/3
と
>ii)他の解がｘ＞2にあるとき
>f(0)＞0 かつ f(2)＜0 ⇔ a＞-1 かつ a＜-1/3
の条件自体はご理解できてますよね。
（分からなければ、グラフを書いてみれば一目瞭然です。）

さて、
>なぜ、解なしなんですか？
ですが、答えは単純です。　-1＜-1/3　ですよね。
なので、「a＜-1 かつ a＞-1/3」を満たす実数aは存在しないということです。
「解なし」は方程式の解がないという意味ではなく、この問題そのものの解がないという意味です。

回答No.1

Tattoko

回答は、 -1<a<-1/3 ですね。
1つの解が0<x<2,他方がx<0または2<xのとき、f(0)とf(2)は一方が正で一方が負になりますね。ですからf(0)f(2)<0を解けばよいことになります。
当然ながら、 -1<a<-1/3 は判別式で求めた範囲内におさまっていますね。