丁度4つの元からなる体って存在しますか?

質問

今大学1年の数学で集合をやっているんですが、丁度4つの元からなる体って存在しますか??僕が正確に授業内容を把握していたら複素数を使って4つの元からなる体を作ることができると思うのですが、何しろ抽象的な分野に入ってきているのでよくわかりません。できれば具体的な例を挙げてくださると助かります。なければ理由つきでお願いします

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

大学１年の集合を勉強している段階では難しいかと思います。
通常だと大学３年くらいで代数学で体の拡大のところで勉強するかと
思います。
体Z/2Z={0,1}の拡大を考えるのですが、この体の元を係数とする多項式
X^4-Xが一次式の積に分解する体を考えます。
X^4-X=X(X-1)(X^2+X+1)で、X^2+X+1は体Z/2Zでは分解できないので、
0,1と、X^2+X+1=0の2つの解からなる集合を考えると、これが4つの元
からなる体となっています。
結果的にいうと、多項式環Z/2Z[X]をイデアル(X^2+X+1)で割った剰余環
（体になる）ですが、X^2+X+1=0の根の一つをαとすると、aα+b
（a,b∈Z/2Z）全体となり、a=0のときはaα+b=b=0または1、a=1のとき
はaα+b=α+b=αまたはα+1、つまり{0,1,α,α+1}となります。
この中では1=-1のような計算法則になっています。
具体的に掛け算や足し算がどうなっているか確かめてみると良いと思い
ます。

もっと一般にはpが素数のときp^n個の元を持つ体があります。

お礼

＞通常だと大学３年くらいで代数学で体の拡大のところで勉強するかと
思います。

そういっていただけるとありがたいです。何しろ先生の進め方だとこんなもの理解して当然だ、といった感じなのですごく焦りました。とりあえず答えだけ覚えておいて後々思い出せるようにしたいと思います。

回答No.1

Tacosan

GF(2^2).
元は { 0, 1, α, α+1 }. 演算は, 加法で 1 + 1 = α + α = 0, 乗法で α^2 = α+1 とすることを除いて普通の加法, 乗法と同じ.
これからさらに発展させると, 誤り訂正とか暗号の世界に突入できます.

お礼

回答ありがとうございます。自分で定義しないといけないみたいですね・・・。課題で出されてしまったのでどうしても解かなければならなかったんですがとりあえず雰囲気だけ理解するようにします