実数列についての真偽判定問題

質問

実数列についての真偽判定問題です。

(1) limsup{a(n)}=1ならば 0<∀ε,∃N such that ∀n>N ⇒a(n)<1+ε.
(2) limsup{a(n)}=1ならばlimsup{a(n)^2}≦1.
(3) 0<∀ε,∃N such that a(N) > -ε+limsup{a(n)}.

のどれが真でどれが偽なのでしょうか?
偽の場合,反例を挙げていただければ幸いでございます。

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

手元の教科書で詳しく書いてない部分なのですが、

lim sup{a(n)}=α∈Ｒ　⇔　lim {a(nk)}=αである部分列が存在し、かつ
　　　　　　　　　　　　　∀α'＞αに対し次のn0∈Ｎが存在する：
　　　　　　　　　　　　　ｎ≧n0　⇒　a(n)＜α'
なので、

(1)　α=1、1+ε=α'　なので、真
(2)　infが-2の数列を考えると（1,-2,1,-2,1,-2,・・・）明らかに偽
(3)　lim sup{a(n)}が∞に発散する場合は成り立たないので偽

だと思います。

お礼

大変参考になります。
貴重なご情報有難うございました。