再度、キャンセルあり待ち行列のパラメータ推定

質問

http://okwave.jp/qa3380102.html
の改訂版です。

前回の質問では混乱してしまったので、ストーリーをつけてみました。
ある村では単位時間あたり一定の割合で子供が生まれます。ただし、人口には比例しません。
また、死亡率は一定です。こちらは死亡者数の期待値は人口に比例します。
出生・死亡はランダム・独立に生じます。

単位時間あたり出生数（普通の意味の出生率ではありません。）は与えられています。
また、死亡率は分かりません。
出生・死亡が起きると、そのたびにその村の人口は記録されますが、
誰が生まれたのかは分かりません。
記録されるのは人口のみです。村人は互いに区別できません。

この村の時間は、出生・死亡が起きるたびに+1されるという方式で計られています。

このとき、村人の平均寿命を求めてください。
また、平均寿命と死亡率はどのような関係があるでしょうか？

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

えーと、前回と今回のご質問の両方を勘案して、ひょっとすると元々の課題はこういう事ではないか、というのを推測してみました。

時間（普通の時間（実時間）です）と共に変化する集合Xを考える。
1. Xには（他の要素と区別できる）新しい要素が単位時間当り平均a個追加される。
　要素の追加というイベントが発生する時間間隔は指数分布に従う。
2. Xの要素は、どれも同じ指数分布に従う寿命Tを持ち、寿命が尽きるとXから除去される。（もちろん、寿命は実時間で測られる。）
　平均寿命はrである。（従って、寿命Tの分布はφ(T)= (1/r) exp(-T/r)である。）

　これなら、例えば「時定数rを持つ要素（例えば放射性の原子）を生産し蓄積するプロセスのモデル」という現実的な解釈ができます。その上で、

問題：　「あるひとつの要素が追加されてから除去されるまでの時間において、Xに追加される要素の個数と除去される要素の個数の和の期待値は幾らか（つまり、その間にXは平均何回変化するか。）」
を問う。Xの要素の数（すなわちXの濃度|X|)が大きい場合には近似的に
∫(aT+|X|T/r) (1/r)exp(-T/r) dT (積分はT=0～∞）
で計算できますが、|X|が小さい場合まで考えると（(aT+|X|T/r)の部分が）もっとややこしくなるだろう、

という話なのではなかろうか。

　さらにひょっとすると、「1,2のプロセスに於いて、|X|=0で始めたときに|X|≧mとなるまでの実時間の分布はどうなるか（これはプロセスの性能を表します）。また、|X|≧mとなるまでに除去される要素の個数の分布はどうなるか（放射性原子なら、これが放射能を表します）」というような、実際的な問いが背後にあるんじゃなかろうか。
　どうなんでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
お礼が遅れてしまって申し訳ありません。
まとめてお返事いたします。

>ご質問にある「死亡者数の期待値は人口に比例する」という文言は、
>「単位時間当りの」という言葉を足して読むしかないでしょう。
>また、「単位時間あたり一定の割合で子供が生まれ」るとはどういう事か。
>ここで言う「割合」が『人口に対する割合』でないことは確かなのだから、
>『時間に対する割合』と考えるしかなく、つまり、『単位時間あたりの出生数の期待値が、
>人口によらず一定である』と解釈する以外にないでしょう。

おっしゃるとおりです。

>結局、出生を減らす唯一の手段は死亡を生じさせることであり、
>出生が一度に１ずつである限り調節は不可能です。

そうですね、ですから、この設定では出生率と死亡率の比だけが重要ということになると思います。

>時間（普通の時間（実時間）です）と共に変化する集合Xを考える。（以下略）

私が参考にしている先行研究では、時間はすべてイベントタイムで計るということになっているので、
実時間は考えていないと思うんです。

まあ、いずれにせよかなり難しい問題だということが分かりました。
もうちょっと考えてみます。
お付き合いいただきありがとうございました。

回答No.2

stomachman

> 人口=0の直後は必ず人口=1です。

　ご質問の文章をもう一度よく読んでみました。

　ご質問にある「死亡者数の期待値は人口に比例する」という文言は、「単位時間当りの」という言葉を足して読むしかないでしょう。また、「単位時間あたり一定の割合で子供が生まれ」るとはどういう事か。ここで言う「割合」が『人口に対する割合』でないことは確かなのだから、『時間に対する割合』と考えるしかなく、つまり、『単位時間あたりの出生数の期待値が、人口によらず一定である』と解釈する以外にないでしょう。
　さて、死亡の事象が生じただけで時計が進む、という問題設定は、言い換えれば、『死亡の事象が生じない場合は時計が進む度に出生の事象が生じる。死亡の事象が生じた場合には（時計が進んだにも関わらず）出生の事象が生じない』ということです。
　でも、死亡の事象が生じた場合には誰も生まれないのであれば、従って、もし出生が一度に１ずつであったなら、死亡の事象が増えるにつれて『単位時間あたりの出生数の期待値』は小さくなってしまいます。この期待値が一定に保たれるためには、たとえば『死亡数が少ない間は出生が少ない』ようになっていれば良いでしょうか。いやいや、出生を減らそうとしても時計が進まないだけのことで、単位時間当りの出生数は減りません。結局、出生を減らす唯一の手段は死亡を生じさせることであり、出生が一度に１ずつである限り調節は不可能です。
　逆に言えば、『単位時間あたりの出生数の期待値』が一定に保たれるためには、『一度に何人かが生まれる（たとえば、時計は1しか進まないのに２人生まれる）』という事象が（死亡数が多くなるにつれて頻繁に）生じうるのでなくてはなりません。

　つまり、ご質問の文章からは「人口=0の直後は必ず人口=1」は、必ずしも帰結できない筈です。
　なのでひょっとすると、ご質問の「ストーリー」は、質問者さんの本来の意図と食い違っているかも知れない。（前のご質問も参考にすると）実時間と、この「村」の特殊な時計とがまだ混同されているのではないかなあ、という印象を受けます。

> ですから、問題はある程度揺らぎが大きい場合、
> ふらつきの効果をどのように考慮するか、ということになりますが、
> どのように扱ったらよいでしょうか？

　もし「人口が平衡状態のa倍 aN (a>1) に達するまで、あるいは人口が0になるまでの平均時間は幾らか」というような問題であれば、ゆらぎそのものの性質に関する問いですから、確率過程として扱うことになりましょう。
　しかし、ここでのご質問は「村人の平均寿命」。人口が小さいうちからゆらぎが目立つとすると、それはNが小さいのだから、人口が0からNに至るまでの時間（ステップ数）は少ない筈です。なら、単に人口を経時的に平均すれば、Nが推定できる。

　で、ANo.1では
qN=P
としましたが、ご質問の正確な条件設定がよく分からないから、この式は撤回です。もちろん、時計の進み方についてはっきりしないところ（時計は1しか進まないのに２人生まれるということがあるかどうかなど）があるまま、平均寿命を計算するのは無理ですね。

回答No.1

stomachman

人口によらず出生数は一定だけど、死亡数は人口に比例するってことですね。
　人口が少ないうちは人口が順調に増加するけれど、いずれ死亡数が多くなって来て頭打ちになり、出生数と死亡数が平衡する。つまり、単位時間あたりの出生数をP、死亡率をq、平衡状態の人口をNとするとき
qN= P
である。一旦この状態になると人口は（少々のランダムなふらつきを除いて）一定のままです。ふらつきでたまたま人口がNより大きくなると、死亡数が増えて人口が減るし、たまたま人口がNより小さくなると死亡数が減って人口が増える。こういうフィードバックが掛かるから、人口がN近辺まで増えたら、後は安定するわけです。 （qがかなり大きい（NがPと比較してあまり大きくない）場合には、ふらつきの効果が強く出てやっかいですんで、ここでは勝手に、NがPに比べてうんと大きいと仮定しましょう。）

ちなみに、時刻tでの人口をn(t)とするとき、ランダム性を無視してさらに連続系で近似すると、微分方程式
dn/dt = P - q n
に従って人口が増えるんで、
n(t) = (P/q) (1-exp(-qt))
となって、平衡状態では
N=n(∞）=P/q
であり、結論は同じです。

　さて、この平衡状態において平均寿命がどうなるかを考えることにします。すると、単位時間ごとにN人中qN人が死亡する。誰が死ぬかはランダムである。ということは、t時間生きた人がt+1時間目でも生きている確率は(1-q)で、これはtに関係ない。
　つまり、t時間以上生き延びる確率E(t)は、
E(t)=(1-q)^t
ってことで、平均寿命Aは
A=∫tE(t)dt （積分はt=0～∞の定積分）
(qが小さいと仮定したので、連続系で考えてもいいでしょう）。
　平衡に達する以前の状態での平均寿命の計算は、めんどくさいからパスです。

お礼

ありがとうございます。
平衡（定常）を仮定すれば確かにあっさり出ます。
（投稿した後、気づきました。）
ですから、問題はある程度揺らぎが大きい場合、
ふらつきの効果をどのように考慮するか、ということになりますが、
どのように扱ったらよいでしょうか？

補足

補足いたしますと、人口が0になったあとは
何事もなかったかのように確率1で人口は増えます。
つまり、人口=0の直後は必ず人口=1です。
これは、イベントタイムを採用しているので、
人口>=0である以上、人口=0の期の次のイベントは必ず出生だからです。