少しでいいのでヒントをください！

質問

数学の講義のレポート課題でこんな問題が出たのですが意味がいまだによくわからないので少しだけヒントをください。
　『開空間(0,1)で一様連続な関数は有界であることを示せ』
という問題ですがただこの一行ですし、一問なんですが苦労してます。
なんか簡単に解けそうな問題ではなさそうですが・・・先生も工学部の学生には少し難しいかなとか笑ってたんですがどうにかして解いてこいと言われました。少しでいいのでヒントをください。

回答No.1

gururinbus · ベストアンサー

例えば、f:(0,1)→Ｒ(実数体)が一様連続とすると、
あるδ＞０が存在し、任意のx∈(0,1)と任意のy∈(0,1)に対して、
|x-y|＜δ⇒|f(x)-f(y)|＜1となります。

x_0=0
x_1=δ
x_2=2δ
…
x_n=nδ
…

として、点列{x_n}を作れば、点列の作り方により、ある自然数mが存在し、x_m＞1が成り立ちます。
そこで、k=min{n|x_m＞1}-1と置きます。
また、Ｍ＝max{ |f(x_n)| | n=1,…,k }と置きます。

xを(0,1)の任意の実数とします。
あとはx_1,…,x_kのなかから、最もxに近いx_nをx_sとおくと、
x_sの選び方により、|x-x_s|＜δが成立します。(何故でしょう？)

あとは、「三角不等式」と三行目に書いた「|x-y|＜δ⇒|f(x)-f(y)|＜1」とＭをどう定義したかに注意すれば、
|f(x)|は有限の値で抑える事ができそうです。

回答No.2

zk43

f(x)が(0,1)で一様連続ということは、任意のε＞0に対して、(0,1)の
中のx,yが|x-y|＜δならば、|f(x)-f(y)|＜εとなるδが取れるという
ことです。
ポイントはこのδはεにしか依存しないということで、(0,1)の中で
共通に取れるということです。
閉区間で連続な関数は有界なので、もしf(x)が有界でないとすれば、
f(x)は0か1のところで∞か-∞に発散していることになります。
ここでは、1のところで∞に発散しているとします。
一様連続の仮定から、(1-δ,1)の中のx,yについては、|f(x)-f(y)|＜ε
が成り立ちます。
絶対値を外すと、f(y)-ε＜f(x)＜f(y)+εとなります。
ここで、yを固定して考えると、(1-δ,1)の中の任意のxに対して、
f(x)は(f(y)-ε,f(y)+ε)の区間に収まることになり、f(x)が1のところ
で∞に発散することに反します。
他の場合も同様です。