論理演算の問題です

質問

AとBがあって、どちらかが真でどちらかが偽のとき、A・Bはなぜ０になるんですか？　存在しないということですか？　ベン図を見てもAでなくBである部分は存在しています。

回答No.7

sanori

＞＞＞AとBがあって、どちらかが真でどちらかが偽のとき、A・Bはなぜ０になるんですか？

「Ａ・Ｂ＝１　ですか？」は、「ＡかつＢは真ですか？」
ということ。
それは、
「Ａが真で、かつ、Ｂが真ですか？」
ということ。
ＡとＢの両方とも真でなければ、Ａ・Ｂは真（１）になれません。
ですから、片方だけでも嘘つきであれば、Ａ・Ｂ＝０です。

＞＞＞
存在しないということですか？

いえ。真ではない（＝偽である）ということです。

＞＞＞
ベン図を見てもAでなくBである部分は存在しています。

その部分は、ＢでもないしＡ・Ｂでもないので、本題とは関係がありません。

補足

Aであるが真で、Aの否定（Aでない）が偽。これは前提ですか？
「Ａ・Ｂ＝１　ですか？」は、AもBも真であることが前提ですか？
だからAでない∧Bでないが偽になるのですか？
A∧Bでないが1になることはありえませんか？

回答No.6

unlucky001

No.4です。

>A・Bは高校のときの集合で習ったA∧Bとは違うのですか？

意味としては、「AかつB」「A AND B」ですから、同じです。しかし、論理代数（ブール代数）と集合論は異なるものです。

理工学系の数学の基礎では、論理演算は、わかりやすいようにベン図を使って教えることが一般的なので（参照URL参照のこと）、混乱されるのは理解できます。しかし、ベン図は、集合論を使って論理式を目で見て理解しやすいように表したものですので、図の交わるところ（共通部分）に要素があるかないか、というような集合論の考え方では十分理解できません。（説明の中で、便宜的に、補集合という言葉を使ってしまったので、かえって混乱させてしまったかもしれませんね。申し訳ありません。）

あくまでもベン図で理解しようとすると余計に混乱しますので（A・BはA・Bでしかありませんから）、真理値表の組合せで理解した方がよいと思います。

参考URL：

http://www.asp.sie.dendai.ac.jp/ed/ea2003/ea-k004.html

回答No.5

secretd

「かつ」「または」とか、「AND」「OR」とか言う言葉は論理演算でも集合でも用いるので、誤解していると思います。

論理演算と集合は違います。論理演算のときにはベン図なんて使いません。存在する、存在しない、というのは、集合の場合に「要素が」集合に入っているかどうかを考えるときに使うものです。ですから、論理演算のときに「存在しない」なんてことばを使っていること自体間違いです。

論理演算とは、ひとつの計算ルールの取り決めです。変数（AとかBとか）が真（TRUE）であるか、偽（FALSE）であるとき、全体の式が真であるか偽であるかを決めるためのものです。
A・B（AかつB）というのは、AもBも両方とも真（TRUE）の場合のみ、式全体を真とする、という「定義」です。ですから、質問の「片方が偽」であれば、A・Bが偽になるのも定義です。なぜ、というものではありません。

最後に。真、偽とか書いてると大変なので、真を１、偽を０で表現することがあります。だから、A・Bの結果は片方が偽であれば全体は偽で、数字で表せば０です。

回答No.4

unlucky001

ベン図で「AでなくBである部分がある」と考えているということから推測すると、「Aが偽である」ということを、「Aの補集合（Aの否定＝Aに含まれない全ての要素の集合）がある」ということと等しいとお考えになって混乱されているのではないかと思います。

Aが偽であるということと、Aの否定である集合（補集合）が存在するというのは別の話です。（もし、同じ話（同じ意味）であれば、Aが真のときには、Aではない集合（補集合）は存在しなくなってしまいます。）
ベン図の「Aの補集合」は、Aが真か偽かにかかわらず、「Aの否定＝Aではない集合」を意味します。Aの値は関係ありません。

つまり、ベン図の上でも式の上でも、AとBの論理積(A・B)を Aの否定とBの論理積((NOT A)・B)で置き換えることはできません。置き換えた場合、意味が変わってしまいます。AとBの論理積を考えるのであれば、他の回答者さまが書かれているように、A・Bの式にそのままAとBの値を当てはめるしかありません。

補足

A・Bは高校のときの集合で習ったA∧Bとは違うのですか？

回答No.3

gatyan

A・B って、AとBの論理積って事でいいんですよね？
だったら、ｘと同じだから
１ｘ０＝０　０ｘ１＝０
ベン図って部分が気になりますが・・・？？？

回答No.2

noname#65902

> A・Bはなぜ０

場合が少ないので当てはめてみても明らかですね。

A=真 で B=偽 → A・B = 偽
A=偽 で B=真 → A・B = 偽

> 存在しないということですか
何が存在しないと？意味がわかりません。

論理演算は結果が「真」か「偽」のいずれかになるものです。
というか、
そのようなルールに作られた考え方です。

ここでは結果は「必ず偽になる」のであり、「偽」が存在します。

回答No.1

koko_u_

>A・Bはなぜ０になるんですか？　存在しないということですか？
偽ということ。