数学IIの問題？

質問

xy平面上に放物線C:y=x^2と直線L:y=mx(m>0)があり、CとLの交点で原点以外のものをPとする。また、Lを原点の周りに正の向きに角π/4だけ回転して得られる直線をL'とし、L'が原点以外でCと交わる時、その交点をQとする。直線PQとCで囲まれる部分の面積Sを求め、mが全ての正の範囲を動くときのSの範囲を求めよ。
という問題で、

m=1の時L':x=0(y軸)となるので交点Qを持たず不適。よってm≠１。
L,L'がx軸の正の向きとなす角をα、βとするとβ-α=π/4となる。
したがってtan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)=1より、
tanα=mを代入してtanβを求めると
tanβ＝(m+1)/(1-m)となる。これを仮にm'とおく。

L,L'とCの交点Pのx座標はそれぞれm、m'となり、この大小関係は
0<m<1の時m<m' m>1の時m>m'である。
よってSは
0<m<1の時S=(m'-m)^3/6
m>1の時S=(m-m')^3/6
となる。

ここで
m'-m=(m+1)/(1-m)-m
=-1+2/(1-m)-m
=-2+2/(1-m)+(1-m)
≧-2+2√2 (∵相加平均≧相乗平均)
等号成立は2/(1-m)=1-mより
m=1+√2　0<m<1なのでm'-m=？
同様に
m-m'=…≧2+2√2　(等号成立はm=1+√2の時)
以上より
0<m<1の時S≧？
m>1の時S≧4(1+√2)^3/3
よってS≧？

途中計算はいくつか省略しています。
わからないのは？をつけている箇所です。

数IIIを使って解くと0<m<1の範囲で単調増加、1<m<2+√2で単調減少、2+2√2<mで単調増加となり、m→1-0,1+0の時m'-m→∞となることから増減表を描いて調べればS>1/6となりそうなんですがこれもまた変な気もするのでどこかで計算間違ってそうです。

数IIで答えを出すとすればどのようにすればいいのか、教えていただきたいです。
あと、どこかで考え間違いをしているかも知れないのでその指摘もお願いします。
以上、よろしくお願いします。

回答No.3

noname#47975 · ベストアンサー

まず、k = m'-m=(m+1)/(1-m)-m とおき、
0 < m < 1の範囲では、(1-m)≠0なので、
k(1-m) = (m+1) - m(1-m)
k(1-m) = m + 1 - m + m^2
k-mk = m^2 + 1
m^2 + km + (1-k) = 0
となり、
0 < m < 1の範囲で少なくとも１つの実数解を持つようなkの範囲を
求める事に帰着できるのではないでしょうか？

ここで、f(x) = mx^2 + km + (1-k)とおくと、
f(1) = 2 > 0である事から、
f(0) = 1-k < 0(1 < k)であれば題意を満たす。
f(0) = 1-k≧0のときは
0 < m < 1の範囲内に軸をもつ条件 -2 < k < 0
頂点のy座標が０および負であるの条件は、k < -2+√2　または、
-2+√2≦kである事から不適。
以上より、k > 1のときに題意を満たす。
∴　0 < m < 1 ⇔　m'-m > 1

お礼

かなり納得しました！
0<m<1の範囲はこのようなやり方で、
m>1の範囲は相加相乗平均でしてやれば最終的に
S>1/6と結論出せますね！
＞頂点のy座標が０および負であるの条件は、k < -2+√2　または、
-2+√2≦kである事から不適。
一瞬-2+√2≦k<0が範囲に入るかと思いましたが、計算したら
-2+2√2≦kとなるので解なしになりますね。
ありがとうございました！

回答No.2

kumipapa

数IIの範囲にこだわるってことは・・・誰かに教えてるのかな？お疲れ様です。

0<m<1の時S=(m'-m)^3/6
m>1の時S=(m-m')^3/6
なわけで、
0<m<1の時、Sは(m'-m)の３次式だから(m'-m)に対して単調増加なのは理解してもらえるとすると、m'-mがmに対して単調増加であることを言えれば良いのですよね？
とすれば、m'-m=(m+1)/(1-m)-m = (m^2+1)/(1-m) = X(m)
として、0<m1<m2<1の範囲で、X(m2)>X(m1)を示せば良いわけで、それは比較的容易にできると思います。

m>1のときも（私は）具体的に計算していませんが、同じようなノリで説明できませんか？

お礼

＞数IIの範囲にこだわるってことは・・・誰かに教えてるのかな？
その通りです。数III使っていいという条件があるのなら問答無用に微分して増減表描いてちゃんちゃんなので。
＞0<m1<m2<1の範囲で、X(m2)>X(m1)を示せば良いわけで、それは比較的容易にできると思います。

なるほど、単調増加・単調減少の考え方は数IIでも使えるのでそれで下は閉じれますね。
問題は上が開いていることをどうやって言うかですね…単純な下に凸の２次関数や傾きが０でない１次関数なら最大値がないことは自明なのでm>1で使えそうなのですが1/(1-m)が0になるというのは説明が難しそうです…
∞の概念は数IIでも使えるのでしょうか？当方理系なのでそのあたりが曖昧になってしまっています。

回答No.1

rabbit_cat

答えは、S>1/6 で合っていると思います。
m→1のとき、S→∞になるのは、図形的にも明らかです。

数２の範囲でやっているほうも、
ぱっとみた感じ、だいたい合っているとは思いますが。
1<mの場合は、合ってます。
0<m<1の場合は、相加相乗の等号成立条件 m=1+√2 が0<m<1の範囲に入っていないので無意味です。
数３の知識が使えれば微分して単調増加ってことがわかるんですが、数２でやるとなると、ひそかに微分して、m'-m>1になるってことを目星つけといてから、答案には、
m'-m-1 = (m+1)/(1-m)-m-1 = m(1+m)/(1-m) > 0
より、m'-m > 1
したがって、S>1/6
とか書いとけばいいと思います。あと、一応、m→1のときに、S→∞になるってことも書いといたほうがいいか。

お礼

回答ありがとうございます。
＞0<m<1の場合は、相加相乗の等号成立条件 m=1+√2 が0<m<1の範囲に入っていないので無意味です。
ということは0<m<1の時は相加相乗平均の解答は一切書かずm'-m>1となることを書いたらいい感じですか？
あと、
＞一応、m→1のときに、S→∞になるってことも書いといたほうがいいか。
多分数IIの範囲には∞の概念がないと思うんですが解答にはどのように書いたらいいでしょうか？
これ私立薬科大学の過去問なんですが、そこの試験範囲には数IIICが入っていないんです。しかし使ってる関数は思いっきり分数関数なので∞発散もあるし、そこだけ穴埋め解答ではないので迂闊なことは書けませんし…
質問で返す形になってすみません。よろしくお願いします。