空間上の２直線の距離

質問

先ほど問題を投稿した者です。
追加質問で恐縮なのですが、

２直線
(x+1)/2=(y-2)/3=(z)/1 (x-3)/1=(y+4)/2=(z-1)/1
の最短距離を求めよ。

という問題なのですが、先ほどの問題と同様に解けなくて苦戦しております・・・
何方かご回答宜しくお願いします。

回答No.3

yhposolihp · ベストアンサー

解１
>>(x+1)/2=(y-2)/3=(z)/1,,, (x-3)/1=(y+4)/2=(z-1)/1

(x+1)/2=s,,,x=(2s-1).......(x-3)/1=t,,,x=(t+3)
(y-2)/3=s,,,,y=(3s+2)......(y+4)/2=t,,,y=(2t-4)
(z)/1=s,,,,,,,,z=(s).............(z-1)/1=t,,,z=(t+1)

2{(2s-1)-(t+3)}+3{(3s+2)-(2t-4)}+1{(s)-(t+1)}=0
1{(2s-1)-(t+3)}+2{(3s+2)-(2t-4)}+1{(s)-(t+1)}=0

2{2s-t-4}+3{3s-2t+6}+1{s-t-1}=0
1{2s-t-4}+2{3s-2t+6}+1{s-t-1}=0

{4s-2t-8}+{9s-6t+18}+{s-t-1}=0
{2s-t-4}+{6s-4t+12}+{s-t-1}=0

14s-9t+9=0
9s-6t+7=0

28s-18t+18=0,,,,,,,,,,126s-81t+81=0
27s-18t+21=0,,,,,,,,,,126s-84t+98=0...3t-17=0

s=3,,,,t=17/3

(d^2)
=[{2s-t-4}^2]+[{3s-2t+6}^2]+[{s-t-1}^2]
=[{2-(17/3)}^2]+[{15-2(17/3)}^2]+[{2-(17/3)}^2]
=[{(6/3)-(17/3)}^2]+[{(45/3)-(34/3)}^2]+[{(6/3)-(17/3)}^2]
=[{-11/3}^2]+[{11/3}^2]+[{-11/3}^2]
=3{(11/3)^2}

d=√3(11/3)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
解２

>>(x+1)/2=(y-2)/3=(z)/1=s,,, (x-3)/1=(y+4)/2=(z-1)/1=t
(x+1)/2=s,,,x=(2s-1).......(x-3)/1=t,,,x=(t+3)
(y-2)/3=s,,,,y=(3s+2)......(y+4)/2=t,,,y=(2t-4)
(z)/1=s,,,,,,,,z=(s).............(z-1)/1=t,,,z=(t+1)

(d^2)
=[{(2s-1)-(t+3)}^2]+[{(3s+2)-(2t-4)}^2]+[{(s)-(t+1)}^2]
=[{2s-t-4}^2]+[{3s-2t+6}^2]+[{s-t-1}^2]
= [4(s^2)+ (t^2) +16-4st +8t -16s]
+[9(s^2)+4(t^2)+36-12st-24t+36s]
+[ (s^2) +(t^2) + 1 - 2st +2t -2s]
=14(s^2)+6(t^2)+53-18st-14t+18s
=6(t^2)-2(7+9s)t+[14(s^2)+18s+53]
=6[(t^2)-(1/3)(7+9s)t]+[14(s^2)+18s+53]
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]-[81(s^2)+126+49]/6+[84(s^2)+108s+318]/6
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+[3(s^2)-18s]-(49/6)+(318/6)
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+[(1/2)(s^2)-3s]+(269/6)
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+(1/2)[(s^2)-6s]+(269/6)
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+(1/2)[(s-3)^2]-(9/2)+(269/6)
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+(1/2)[(s-3)^2]+(-27/6)+(269/6)
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+(1/2)[(s-3)^2]+(242/6)
=6[{t-(1/6)(7+9s)}^2]+(1/2)[(s-3)^2]+(121/3)

s=3,,,
{t-(1/6)(34)}=0,,,t=17/3
d=√(121/3)=11/√3=11√3/3

回答No.5

aquarius_hiro

こんにちは。

(x-a)/k = (y-b)/L = (z-c)/m という直線の式があったときに、
この直線は (a,b,c) という点を通り、
ベクトル (k,L,m) に平行ということは知っていますよね。
これは基礎事項なので、もしご存知でなければ、よく理解しておいてくださいね。

さて、このことを前提に、問題を考えます。

各直線に平行なベクトルは、上の基礎事項より、(2,3,1)、(1,2,1) になりますね。

いま、二直線の上の点Aと点Bで最短になるとします。

(x+1)/2=(y-2)/3=z/1 = p
(x-3)/1=(y+4)/2=(z-1)/1 = q

とおくと、

点A: (x,y,z) = (-1,2,0) + (2,3,1)p
点B: (x,y,z) = (3,-4,1) + (1,2,1)q

とおけますね。

ANo.4のように距離ABを関数にして微分してもいいのですが、ちょっと違う方法でやってみますね。

ベクトルAB = (-4,6,-1) + (2p-q, 3p-2q, p-q) です。

これが、両方の直線に垂直になるので、

(2,3,1)⊥ベクトルAB
(1,2,1)⊥ベクトルAB

より、内積を計算して、

-8+18-1 + 2(2p-q)+3(3p-2q)+(p-q) = 0
-4+12-1 + (2p-q)+2(3p-2q)+(p-q) = 0

整理すると、

9+14p-9q=0　… (1)
7+9p-6q=0 … (2)

(1)×2 - (2)×3 を計算すると、

-3+p=0 より p = 3

(2)より、q=(7+9p)/6 = 34/6 = 17/3

これを再びベクトルABに代入すると、

ベクトルAB = (-4,6,-1) + (1/3, -7/3, -8/3)
　　　　　 = (-11,11,-11)/3 = 11/3 × (-1,1,-1)

|ベクトルAB| = 11/3 × |(-1,1,-1)| = 11√3/3

これが最短距離です。

回答No.4

info22

＞(x+1)/2=(y-2)/3=(z)/1, (x-3)/1=(y+4)/2=(z-1)/1
を媒介変数表現にすれば
x=2t-1,y=3t+2,z=t
x=s+3,y=2s-4,z=s+1
これらの直線上の任意点をP(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z3)、
PQ間の距離をLとすれば
f(s,t)=L^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2
=(2t-1-s-3)^2+(3t+2-2s+4)^2+(t-s-1)^2
=14*t^2-18*s*t+18*t+6*s^2-14*s+53
fs=-18t+12s-14=0,ft=28t-18s+18=0とおいて
極小（最小）となる(s,t)を求めると
s=17/3,t=3
このとき
Min{f(s,t)}=Min{L^2}=f(17/3,3)=121/3
求める最短距離は
Min{L}=11/√3

回答No.2

mtisa

2つの関数上のある点を媒介変数で表して、
それで出てきた２点を、距離を求める関数に代入。
その関数の最小値を求めればOKです。

回答No.1

vigo24

直線上の点を媒介変数で表し、
その２点間の距離の最小値が求める最短距離です。