この命題は真ですか偽ですか？

質問

以下の命題が真か偽か分からなくなってしまいました。教えて下さい。
　「自然数nが0より小さいならばnは無理数である。」

回答No.2

proto · ベストアンサー

真だと思います。

　「自然数nが0より小⇒nは無理数」
ということですが、
　「A⇒B」
とは、Aが真であるときBもまた真、Aが偽であるときBの真偽にかかわらずA⇒B全体は真、という定義です。
書き換えると
　「A⇒B」 ≡ 「￢A∨B」
となります。

自然数1,2,3,...,nはどれも0より大きいので、「自然数nが0より小」は常に偽です。ですから、「nは無理数」の真偽にかかわらず(もちろんこれも常に偽ですが)題意の命題全体は真になります。

回答No.8

Ishiwara

「真」です。
「もし、私がウソつきだったら、明日太陽が西から昇る」という発言は、発言者が正直者であるという前提に立てば、「正しい」とされます。
これは、論理学の諸法則の間に秩序を与えるための定義と考えてもいいでしょう。

お礼

皆様のおかげで、「誤った仮定のもとでは任意の命題が証明できる」ということの意味が少しずつ分かってきました。
　有難うございました。

回答No.7

aidlii

これは、いかめしく言うと、数学の世界でも数学基礎論、その中の、数理論理学あるいは記号論理学の初歩の知識ということになりまして、ちょっと、特殊な分野で、ちょっと、特殊な考え方をします。だもんで、すでに答えをアップされた方が、いらっしゃるのですが、一応、補足を付けてみます。
　この辺りは、恐らく日常感覚と数学用語とに、少しズレを感じるところだろうと思います。
　例えば命題Ａ、Ｂに対して「ＡまたはＢ」という命題は、ＡもＢも両方とも偽であるとき以外は、真というのが、数学の取り決めです。しかし、日常感覚では、「ＡまたはＢ」というのは、Ａか、Ｂか、どちらか片方だけが正しいということであって、両方とも正しいときは「ＡまたはＢ」というのは間違いという気もします。しかし、数学上ではＡ、Ｂ両方とも真であるときは「ＡまたはＢ」も真と決めているのです。
　そして、命題論理の世界では、命題の世界は、材料の命題と「かつ」「または」「…でない」の組み合わせで表現出来るということになってまして「ＡならばＢ」は『「Ａでない」または「Ｂである」』と同じということになっています。従って、Ａでないとき、つまりＡが偽のとき「Ａでない」は真ですので、『「Ａでない」または「Ｂである」』は真、よって「ＡならばＢ」は真なのです。これも、日常言語と数学用語にズレを感じるところだろうと思います。もしかしたら印欧語と日本語のズレもあるかも知れません。
　年が分かっていやなのですが、私が高校生の頃は、これを習わされまして、Ａが偽のとき、「ＡならばＢ」は真というのは、どうにも納得がいきませんでした。
　強いて言えばですが「ＡならばＢ」というのは、「もしもＡが正しければＢも正しい」ということであって、「ひょっとしたらＡは間違いかも知れない」というのが言外に含まれている、とでも解釈すればよいかと思います。まあ、「もしもクジラが魚だったら、俺は土星まで歩いて行ってやるぜ」なんてのに近いかも知れません。
　長くなりましたが、そんなわけで、数学の世界の取り決めでは、ご質問の文章は、真ということになります。日常感覚からすると、何かスッキリしないのですが……。

補足

私の持っている基礎論の本では、￢A→BのことをA∨Bと書き表すのだと書いてあります。これはA→A(暗黙)か￢A→Bのどちらかが成立することが保証されているから、結果としてA∨Bだという意味なんでしょうね。それは分かっているんですが、でも例として挙げられたクジラ云々の命題が真だ、という結論はどうも...ひっかかりますねえ^^。
　まあでも、この問題はこの辺で納得しとくことにします。
　回答を下さった皆様、どうも有難うございました。

回答No.6

masa2211

こういうときは、対偶をつかって判断します。
ＡならばＢである　→対偶は、　非Ｂであれば　非Ａである。
論理上、命題と対偶は等しいので、命題と対偶の真偽は一致します。

ですので、Ａが常に偽となる命題なら、対偶は常に真なので、当初命題は真です。

この場合に当てはめると、
命題：自然数nが0より小さいならばnは無理数である。
対偶：自然数nが無理数以外の数であるなら、nは0以上である。

0以上がちょっと引っかかります（自然数は1以上。）が、
1以上であれば0以上には違いないので不問とすれば
対偶は正しいので、命題も正しい。

補足

対偶の公理によれば、おっしゃるとおりです。でも、Bは絶対に成立しないのに、A→Bが成立することがあるということが分からないのです。もちろん、理屈ではなく、直感的に分からないということに過ぎませんが。

回答No.5

yanasawa

￢A⇒(A⇒B)

補足

おっしゃるとおり、公理A→(B→A)と対偶の公理から上の公式が証明されていますが。。。どうも納得がいかない、という話です。

回答No.4

noname#77845

＃１です。
＃２，３さんへ

「あっ、そういうことか…。」

っていう気分ですね。ｗ

回答No.3

noname#64531

自然数ｎは、０より大です。
０より小さい自然数は存在しません。
存在しないｎについて何を言っても成り立ちます。
（偽を証明できない）

よって命題は真です。

回答No.1

noname#77845

「偽」

「自然数nが0より小さいならば」
自然数の定義は？