チェビシェフの不等式です。

質問

マルコフの不等式（チェビシェフの不等式）の使って、
E[|X|]=0⇒X=0,P-a.s.を示したいのですが、自分の考
えとしては、{ω;|X(ω)|>0}=∪(n>=1){|X(ω)|>1/n}
を使ったらいいのかなと思うのですが、どのように示
すかわかりません。アドバイスお願いします＞＜

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

チェビシェフの不等式の証明と同じように、a＞0として、
E(|X|)＝E(|X|||X|≧a)P(|X|≧a)＋E(|X|||X|＜a)P(|X|＜a)
≧E(|X|||X|≧a)P(|X|≧a)
≧aP(|X|≧a)
より、
P(|X|≧a)≦E(|X|)/a＝0
あとは、ちょっと形式的にa＝1/nとでもして、
{X＝0}＝Ω－∪(n≧1){|X|≧1/n}
において、
P(∪(n≧1){|X|≧1/n})≦Σ(n≧1)P(|X|≧1/n)＝0
より、P(∪(n≧1){|X|≧1/n})＝0なので、
P(X＝0)＝P(Ω)－P(∪(n≧1){|X|≧1/n})＝1－0＝1