重複組合せ

質問

重複組合せの問題がどうも理解できないのでお願いします。

問い:
一つのさいころを二回投げて出た目を順にa,bとする時a≧bとなるような目の出
方は何通りあるか。重複組合せの考え方で解け

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これはどういう風に考えればいいのでしょう。
重複組合せは「○○○○○○と|」という具合に「○の数と頭数-1の仕切」で考えるんですよね。
題意に沿うようにaとbを表に整理すると、
a=1 b=1
a=2 b=1,2
a=3 b=1,2,3
a=4 b=1,2,3,4
a=5 b=1,2,3,4,5
a=6 b=1,2,3,4,5,6

このようになりますが、これを「○の数と頭数-1の仕切」やnHrの形で表すのに
どのように考えて良いのか分かりません。

さいころの目は常にn≧1なので、さいころの目を六個のボールと考えて
「aさんが0個のボールを手にするとき、bさんは6個手にすることが出来る」
「aさんが1個のボールを手にするとき、bさんは5個手にすることが出来る」
・・・
などというようには考えられないのですが・・・。
そもそも重複組合せの私の理解が間違っているのでしょうか。

お願いします。

回答No.8

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　補足を拝見しました。

＞aとbの区別は投げる順番ではなく、数の大小で決定するということですか？

　私の考え方は、出た目の順番や大小関係は最初から考えないものです。
　単純に、サイコロを2回振って、出た目の組み合わせを求めればよいという考え方です。
　このとき組み合わせの表記の仕方には2通りありますが、降順に書くと決めてしまいます。

　　（1回目）　　(2回目）　　（出た目の組み合わせ)
　　　　１　　　　　１　　　　　　（１，１）
　　　　１　　　　　２　　　　　　（２，１）
　　　　１　　　　　３　　　　　　（３，１）
　　　　　　・・・　　　　　　　　　・・・
　　　　２　　　　　１　　　　　　（２，１）
　　　　２　　　　　２　　　　　　（２，２）
　　　　２　　　　　３　　　　　　（３，２）
　　　　　　・・・　　　　　　　　　・・・

　このようにすれば、出た目の組み合わせは、結果的に、a≧bとなるような組み合わせ(a,b)を表すことになっています。そして、その組み合わせの数は、6個の中から重複を許して2個選んだときの組み合わせの数に他なりませんから、
　　6H2=7C2=21
と勘定すればよいと考えています。

お礼

お早う御座います。

分かりました！分かりましたよ！わあいわあい！

この問題で嵌り込んでしまった箇所と解決の糸口は結局同じで、問うているの
が「何通りあるか」であって、出た目やその順番はではないということに尽き
ます。題意に沿うように考えていたつもりが、いつの間にかさいころを振る順
番や目の大小に拘泥してしまっていたということです・・・。

Mr_Hollandさんの様な、表にして理解しました。

有難う御座いました！

回答No.7

noname#47975

#3です。
すいません、#3のような考え方では,n個のサイコロでは対応出来ない
ですね．．。４個のサイコロでは対応可能でした（確認済み）

回答No.6

KamoLife

投稿した後で気付きました。
質問者様が求めているのは確率でなく場合の数でしたね。

この場合、質問者様のように全組み合わせを書き出すか、
「１以上、Ｎ以下」の数はＮ個であることを利用して、
１＋２＋３＋４＋５＋６＝２１とするのが正解ですね。

回答No.5

coffeebar

単純に考えて下さい。

最初に6が出たら、次に何が出ても条件に合いますよね。つまり6通り。最初に5が出たら5通り。

つまり6+5+4+3+2+1=21
です。

回答No.4

KamoLife

題意に沿って答えるなら、こんな感じで。

　サイコロの目の出方は 6^2=36通り(重複組み合わせ)
　そのうち、a≧bとなるのは21通りなので、
　確率は21/36 = 7/12。

もう少しスマートな解き方がよければ、以下のような感じで。

　１回目の目がaの時、a≧bとなる確率はa/6。
　aが１から６までそれぞれの値を取る確率は1/6。
　したがって、求める確率は
　(1/6 * 1/6) + (1/6 * 2/6) + … +(1/6 * 6/6)= 7/12

回答No.3

noname#47975

１～７を仕切りとします。
□１□２□３□４□５□６７

例えば、１、２を選んだ場合を、a = 1 , b = 2と対応付ける。
３，５を選んだ場合は、a = 3 , b = 5と対応付けます。
ただし、７を選んだ場合は、
他に１を選んでいる場合は、a = b = 1
２を選んでいる場合は、a = b = 2
３を選んでいる場合は、a = b = 3
....といった具合に対応付けます。

すると、重複組み合わせの考え方を適用する事ができます。

これは、a≦b≦cの場合にも適用可能です。

１□２□３□４□５□６７８

今度は７を選んだ場合は、残りの２つのうち、小さい方の番号が
書かれた仕切りの数に対応付けさせます。
例えば、１、３、７を選んだ場合は、a = 1 b = 1 c = 3となります。

８を選んだ場合は、残りの２つのうち、大きい方の番号が書かれた
仕切りの数に対応付けさせます。
例えば、１、３、８を選んだ場合は、a = 1 b = 3 c = 3となります。

７、８を選んだ場合は、どちらも１つの仕切りの番号に対応付けさせます。
また、見方を変えれば、８は７に対応付けさせ、７は残りの１つの仕切りの番号に対応付けさせている事から、全て同じ番号の仕切りに対応付けさせているという事になります。
例えば、１、７、８を選んだ場合は、a =1 , b = 1 c = 1となります。

なお、ｎ個のサイコロの場合にも同様に、重複組み合わせの考え方を適用できます。

回答No.2

Mr_Holland

次のように考えてはいかがでしょうか。

　振る順番を意識せず、出た目の組み合わせだけに注目して組み合わせの数を数えます。そして、それを大きい順に書くことにしますと、それは「一つのさいころを二回投げて出た目を順にa,bとする時a≧bとなるような目の出方」になると思います。
　（この考え方は、２つの目の組み合わせを見ると、必ず一方が他方と同じかそれより小さくなっていることを利用しています。）

　この組み合わせは、重複を許して6個の目から2個だけ目を選ぶことに相当しますから、
　　6H2＝7C2＝21　通り
となります。

補足

ぼんやりと分かりそうです。

aとbの区別は投げる順番ではなく、数の大小で決定するということですか？

回答No.1

metis

ヒントだけ。
○より｜の方が多くなります。

○と｜の考えで解くことが出来ますが、結果論の様になるので、その辺り注意してみてください。