まず、意味から言って、「彼等は、母親に、サンドイッチをいくらか袋詰めしてもらった」となるのはいいですよね。
１．まず、that節が来ない理由です。
上の意味から、got の意味は、「してもらった」となり、主語＋get＋目的語＋補語 と言う文型にしかなりません。つまり、主語＋get＋that節と言う形にならないのです。なぜなら、that節というのは主節の動詞（この場合はget）とは基本的に独立した内容を表すからです。たとえば、I know that he plays tennis. 「僕は彼がテニスをするのを知っている。」では、「僕が知っている」かどうかは関係なく、「彼はテニスをする」わけです。ところが、「してもらった」と言う言い方では、そういう働きかけの結果、誰かがするわけなので、主節の動詞からの独立性がありません。
２．次に、原形不定詞がだめで、to be packedやto pack になるかという理由です。
They got their mother (pack,packed,to be packed,to pack)some sandwiches.
では、主語（they)＋動詞（got)＋目的語（their mother)＋補語（(pack,packed,to be packed,to pack)some sandwiches. と言う構造で、目的語＋補語の部分は、「母親がサンドイッチをつめる」という主語＋動詞＋目的語の意味を持っています。つまり、their mother packs some sandwiches というかたちです。つまり、pack は能動形で使われ、受身ではないわけです。これが、to pack が正解で、to be packed がだめな理由となります。their mother to be packed となると、「彼等の母親がパックされる」となりおかしいですから。
これを踏まえて、後は、to がなぜつくかということですが、これについては以前このサイトに投稿したものをコピーします。多少長いですが、参考になるはずですから読んでみてください。getについては、最後にその説明が出てきます。
３．使役動詞についても、以前、投稿したものがあったので、ここにコピーしておきます。
お役に立てば幸いです。
使役動詞は、「誰々に、何々をさせる」のような意味合いで使います。
例えば、He made me clean the room.「彼は僕に部屋の掃除をさせた。」です。
使役動詞で問題になるのは、主語＋使役動詞＋目的語＋補語の形のときの、補語の部分に来る動詞の形です。to clean のように、to が付く形が来るのか、ただの clean だけでいいのか、をよく間違えます。
以下、その説明です。
makeは、完成状態を目的語に取ります。例えば、
I made a chair. なら、「完成した椅子」を作ったことになるわけです。この完成と言う感覚が、即時と言う感覚を生み出し、
make+目的語＋原形不定詞 と言う語順を選ばせているわけです。
他にも、I helped him to clean the room.とtoがないI helped him clean the room. は、多少違い、toがある場合は、直接的に助けるのではなく、彼以外の誰かに私が掃除を手伝えと言ったと言うような間接性を暗示させます。それに対し、to なしの場合は、直接的に手伝う、つまり、自分も雑巾を持って、と言うことです。これと同じで、to がない形は、それだけ、直接的なニュアンスを持ちます。そう言えば、感覚動詞の場合も、補語に原形をとりますよね。I saw him kick the ball. これも、感覚は、心の中での、それだけ生き生きした再現を暗示するからです。
それに対し、force の方は、単に強制するだけですから、目的語は、強制される方向へ動くわけで、その動きをtoが表していると思えばいいと思います。つまり、to は、目的語が、何か、迷うと言うか、どうしようかなと、逡巡する間の時間差を表すと、見ればいいと思います。
He made me clean the room. 有無を言わせず、または、非常な権力と言うか権威を持って、または、自分の方で、相手に抵抗すると言う試みもなく、「私は部屋の掃除をした。」結果に重点があり、過程については述べていない。
He forced me to clean the room. 彼は、私が嫌がっているのに、脅したり、何かの権力のようなものを使って、私が抵抗しているのにもかかわらず、「私に部屋の掃除をさせた。」結果と言うよりも、過程に重点がある。
この他にも、to が必要かどうかを迷うものにhave,get があります。
The teacher had the students clean the room.「先生は生徒に部屋の掃除をさせた。」haveが使われているのは、もうすでにそこにあるものを持つという感覚があるからです。つまり、教員にとって、生徒が掃除をするのは当然のことであって、特に生徒の気持ちを変化させる必要性がないからです。つまり、主語＋have＋目的語＋動詞の原型 という形で、toをとりません。
The man got his wife to take care of the children.「男は妻に子供たちの世話をさせた。」
この文では、getが使われていますが、getは、変化を意味します。つまり、It got dark. 「暗くなった。」のような文のgetの使い方と同じです。明るい状態から暗くなったという意味ですね。「男は、妻に、いろいろ言葉を尽くして、（たとえば、今度の休みには皿洗いをやるからとか、次の出張でお土産を必ず買ってくるとか）妻の心を動かし、子供の面倒を見てもらった。」という意味です。目的語の心の変化を表すのがtoです。
もっと心が変化すると、intoが使われます。
He deceived her into thinking he was rich. 「彼は彼女をだまして彼が金持ちだと思い込ませた。」
などですね。
