「何乗」という計算は、英語で power とも言い、「巾演算」とも言います（「累乗」とも言います）。
これは、ある基本になる数ｘがあれば、このｘを何回掛け合わせるかということを抽象化してできた演算の概念です。
この場合、「何回掛け合わせるか」ですから、この「何回」は当然、１回、２回、３回……のように、「ゼロを除く自然数」でないとおかしいことになります。
しかし、数学では、色々な数学概念の「拡張」というものを行います。
例えば、昔は、自然数しか数として考えていなかったのが、マイナスの数も考え、「整数」という数の概念に拡張され、更に、整数を整数で割ると、大抵の場合、整数にならないので、これを「分数」として、「有理数」という数の概念を造りました。
「足し算」という演算も、或る数を５回足すことを、或る数に５を掛けることという風に定義して、「乗算」という演算に拡張しました。
「巾演算」の場合も拡張を行ったので、ｘ^n つまり「ｘのｎ乗」という場合、本来、ｎはゼロでない自然数でした。何回ｘを掛け合わせるかという話ですから、ｎは自然数でないとおかしい訳です。
しかし、巾演算の拡張として、ｎが自然数でなく、「分数」の場合にも、こういう演算が成り立つよう拡張を行ったのです。その時、分数は普通、自然数ａ，ｂの二つで、ａ／ｂという風に表現できます。
そこで、「ｘの（ａ／ｂ）乗」つまり、ｘ^(a/b) というものを拡張定義して、これは、「《ｘの１／ｂ乗》のａ乗」つまり、(x^(1/b))^a と定義しました。
ｂが自然数で、ｘ^(1/b) とはどういうことかということで、これは、ｂ回掛けるとｘになる数、つまり、/b√/(ｘ) のことだとしました（ｘのｂ乗根のことです）。
こういう風に、「巾演算」のｘのｎ乗のｎという数を、自然数から分数に拡張すると、計算してみても、おかしなことは起こらないということが分かり、現在では、巾演算のｎ乗のｎは、有理数の場合にも使われています。
そこで、１／ｂというのは、ｂをどんどん大きくして行くと、０に近づいて行きます。しかし、０にはなりません。そして、ｘの（１／ｂ）乗も、ｂを限りなく大きくして行くと、１に近づいて行きますが、１にはなりません。（実は、極限の概念を使うと、この段階で、ｘ^0＝１が出てきますが、もう少し基本的な話をします）。
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しかし、巾演算については、更に拡張がある訳で、いままで、ａのｎ乗という時のｎは、正の数でした。これを負の数の場合にも拡張するのです。
ａ，ｂ＞０であるとすると、－ｂ＜０です。
ｘの（－ｂ）乗というのは、式で表すと、ｘ^(-b) です。これは、1/(x^b) であると定義します。また、ｘの（－ａ／ｂ）乗という巾演算も定義し拡張します。このように、「巾演算」を拡張しても、おかしなことは起こらないということが、確認されているのです。
巾演算については、更に重要なことは、ｎ，ｍを自然数とすると、ｘのｎ乗に、ｘのｍ乗を掛けると、ｘの（ｎ＋ｍ）乗になる、つまり、(ｘ^n)*(ｘ^m) ＝ｘ^(n＋m) という関係がありました。
この関係は、ｎ，ｍが分数になっても、負の数になっても、変わりなく成り立つということが確認されています。「巾演算」は、こういう性質を持っているのです。
そこで、ｘのａ乗に、ｘの（－ａ）乗を掛けると、上の公式では、ｘの（ａ－ａ）乗と同じであるということになります。つまり、(ｘ^a)*(ｘ^(-a)) になります。
ｘ^(-a) は、1/(ｘ^a) と定義されていました。すると、(ｘ^a)*(ｘ^(-a)) ＝ｘ^0 は、(ｘ^a)*(ｘ^(-a)) ＝(ｘ^a)*(1/(ｘ^a)) ＝(ｘ^a)/(ｘ^a) ＝１となります。
つまり、ｘ^0 ＝１ となるのです。
これは「巾演算（power）」という、最初は、簡単な計算だった「演算」を、拡張して定義して行くと、こういう結果になり、これで、巾演算の計算には、矛盾が起こらないということが確認されているのです。
つまり、ｘのｎ乗で、ｎがゼロでない自然数の場合だけで、最初は考えられていた「演算」を、ｎを分数や負の数にまで「拡張」することで、「巾演算」そのものを拡張して行ったことになり、こういう「拡張された意味での巾演算」では、ｘ^0 ＝１となるということです。
（追記：数学の概念の拡張というのは、たいへん奇妙なものがあります。例えば、ｘ！という記号はご存じでしょう。これはｘが４の時だと、４！＝４*３*２*１＝２４となるような演算子で、階乗とも言います。
このｘに来るのは、絶対に、自然数のはずだと思えます。0.5！とかは、何のことか、となるからです。しかし、数学では、この演算も「拡張」されていて、ｘが実数一般で定義された関数があります。
この場合、この関数は、ｘが自然数の時、丁度、ｘ！と等しくなるのです。これはΓ（ガンマー）関数と言ったと思います）。
お礼
ありがとうございます、とてもわかりやすいです！！、 なるほど割り算なんですね、